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python - Sympy 无法评估涉及伽马函数的无限和

问题描述

我正在使用 Sympy 来评估一些涉及gamma函数操作的符号和，但我注意到在这种情况下它不评估总和并保持它不被评估。

import sympy as sp
a = sp.Symbol('a',real=True)
b = sp.Symbol('b',real=True)
d = sp.Symbol('d',real=True)
c = sp.Symbol('c',integer=True)
z = sp.Symbol('z',complex=True)
t = sp.Symbol('t',complex=True)
sp.simplify(t-sp.summation((sp.exp(-d)*(d**c)/sp.gamma(c+1))/(z-c-a*t),(c,0,sp.oo)))

然后我需要对这个表达式进行lambdify，不幸的是这变得不可能了。

但是，使用 Matlab 符号工具箱，我得到以下答案：

MATLAB

>> a=sym('a') 
>> b=sym('b');
>> c=sym('c')
>> d=sym('d');
>> z=sym('z');
>> t=sym('t');
>> symsum((exp(-d)*(d^c)/factorial(c))/(z-c-a*t),c,0,inf)
ans = 
(-d)^(z - a*t)*exp(-d)*(gamma(a*t - z) - igamma(a*t - z, -d))

正如预期的那样，该公式涉及较低的不完全伽马函数。知道为什么会出现这种行为吗？我认为 sympy 能够象征性地做这个总结。

标签： pythonsympysymbolic-math

解决方案

使用 SymPy 1.2 运行代码会导致

d**(-a*t + z)*exp(-I*pi*a*t - d + I*pi*z)*lowergamma(a*t - z, d*exp_polar(I*pi)) + t

顺便说一句，summation已经尝试评估总和（并且在 SymPy 1.2 的情况下成功），随后的简化是装饰性的。（有时可能是有害的）。

SymPy 发现有exp_polar必要考虑对数函数黎曼曲面上的点而不是常规复数。（相关的文档）。该函数lower_gamma是分支的，因此我们必须区分“-1 处的值，如果我们从 1 顺时针到达 -1”和“-1 处的值，如果我们从 1 到达 -1 逆时针”。前者是exp_polar(-I*pi)，后者是exp_polar(I*pi)。

当您需要对表达式进行具体评估时，所有这些都非常有趣，但并没有真正的帮助。我们必须对这个表达式进行非极化，从 Matlab 显示的内容来看，在这里简单地替换exp_polar是exp一种正确的方法。

rv = sp.simplify(t-sp.summation((sp.exp(-d)*(d**c)/sp.gamma(c+1))/(z-c-a*t),(c,0,sp.oo)))
rv = rv.subs(sp.exp_polar, sp.exp)

结果：d**(-a*t + z)*exp(-I*pi*a*t - d + I*pi*z)*lowergamma(a*t - z, -d) + t

这里还有一些事情需要考虑，复数等等。是d正面的还是负面的？将其提高到幂-a*t+z是什么意思，我们采用多值幂函数的哪个分支？Matlab 输出中存在相同的问题，其中-d被提升为幂。

我建议使用浮点输入（序列的直接求和与 SymPy 表达式的评估）对此进行测试，并在d可能的情况下添加对符号的假设。

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