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c++ - 浮点整数的精确表示

问题描述

我试图了解浮点格式的整数表示。

由于 IEEE 浮点格式只有 23 位尾数，我希望任何大于 1<<22 的整数都只是一个近似表示。这不是我在 g++ 中观察到的

下面的两个 cout 都打印相同的值 33554432。

由于尾数部分是负责精度的部分，我们如何能够表示（存储）需要超过 23 位才能准确存储的确切数字。

void floating_point_precision(){
  cout<< setprecision(10);
  float fp = (1<<25);
  cout<< fp <<endl;
  cout<< (1<<25) <<endl;
}

作为基于以下答案的后续行动，为什么即使 fp,i 的打印不同，以下代码也不执行“不等于”。

void floating_point_precision(){
  cout<< setprecision(10);
  float fp = ((1<<25)+1);
  cout<< fp <<endl;
  int i = ((1<<25)+1)  ;
  cout<< i <<endl;
  if(i != fp)
    cout<< "Not equal" <<endl;
}

标签： c++floating-pointprecision

解决方案

确实，IEEE 浮点只有有限数量的尾数位。如果有 23 个尾数位，那么它可以精确地表示 2 23个不同的整数值。

但由于浮点数单独存储一个二次幂指数，它可以（受有限的指数范围限制）精确地表示这 2 23个值中的任何一个乘以二次幂。

33554432正好是 2 25，所以它只需要一个尾数位就可以准确地表示它（加上一个表示乘以 2 的幂的二进制指数）。它的二进制表示是10000000000000000000000000，它有 26 位但只有 1 个有效位。（嗯，实际上它们都很重要，但你明白了。）

你会发现它的相邻整数值33554431不能33554433 用32-bit 精确表示float。（但它们可以用 64 位表示double。）

更一般地，类型的连续可表示值之间的float差异随着值的大小而变化。在我的系统上（大多数系统使用 IEEE 格式，但标准不要求），这个程序：

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>

void show(float f) {
    std::cout << std::nextafterf(f, 0.0) << "\n"
              << f << "\n"
              << std::nextafterf(f, f*2) << "\n";
    putchar('\n');
}

int main(void) {
    std::cout << std::setprecision(24);

    show(1);
    show(1<<23);
    show(1<<24);
    show(1<<30);
}

产生这个输出：

0.999999940395355224609375
1
1.00000011920928955078125

8388607.5
8388608
8388609

16777215
16777216
16777218

1073741760
1073741824
1073741952

float它显示了数字 1、2 23、2 24和 2 30的类型中的直接前任和后继。如您所见，对于较大的数字，差距会变得更大，差距会在每 2 的幂次方加倍。

你会得到类似的结果，但差距更小，使用 typedouble或long double.

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