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python - SymPy 中 1/x 的集成

问题描述

我认为 SymPy 在积分 1/x 时返回 log(x) 而不是 log(abs(x)) 很好。这使它变得简单，并让用户担心标志。

但是，在某些情况下它会导致错误的答案。例如，

from sympy import *
x = Symbol('x')
integrate(cos(x)**2/sin(x), x)

结果是

log(cos(x) - 1)/2 - log(cos(x) + 1)/2 + cos(x)

虽然它应该（显然？）

log(1 - cos(x))/2 - log(1 + cos(x))/2 + cos(x)

是否有一种解决方法可以产生第二个答案？

标签： pythonsympyintegral

解决方案

缺席abs不仅仅是为了“保持简单”。正如 SymPy 首席开发人员所写，

SymPy 不会返回log(abs(x))for，integrate(1/x)因为它对复数无效。相反，答案在积分常数（可能很复杂）之前是正确的。默认情况下，所有 SymPy 操作都假定变量是复杂的。

其余链接问题也与您的问题有关。从某种角度来看， log(cos(x) - 1): 与积分结果一样有效log(1 - cos(x))：这两个表达式之间的差异是I*pi，它被积分常数吸收了。此外，cos(x)对于复数 x，可能大于 1，例如cos(I) = 1.54...

也就是说，以下是一种强制对数中的常数项为非负数的方法。

def fix_logs(expr):
    replacements = {}
    for a in expr.atoms(log):
        if a.args[0].as_coeff_add()[0].is_negative:
            replacements[a] = log(-a.args[0]) + log(-1)
    return expr.xreplace(replacements)

下面是它的工作原理：

rv = integrate(cos(x)**2/sin(x), x)
rv2 = fix_logs(rv)
rv3 = Add(*fix_logs(rv2).as_coeff_add(x)[1])

这里的 rv、rv2 和 rv3 是：

log(cos(x) - 1)/2 - log(cos(x) + 1)/2 + cos(x)
log(-cos(x) + 1)/2 - log(cos(x) + 1)/2 + cos(x) + I*pi/2
log(-cos(x) + 1)/2 - log(cos(x) + 1)/2 + cos(x)

该函数fix_logs不会删除 log(-1) 部分，因为它可能很重要：x*log(x-1)成为x*(log(1-x) + I*pi/2)不能简单删除常量的地方。但如果需要，可以删除附加常数，如 的计算所示rv3。

as_coeff_add方法参考

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