floating-point - 重写表达式以减轻数值抵消

我最近回答了这个问题，其中要求 OP 找到一种更好的方法来评估以下表达式

表达式的x → 0的限制是 1/6，并且从n = 12 开始存在舍入误差，当n = 13时变得更加显着。

我挠了挠头，但无法找到更好的方法来评估先前的表达式。使用二项式近似值¹ 太好了，因为它对x的每个值都给出了 1/6 ！！！任何人？

1: (9+ x )^0.5-3= 3*(1+ x /9)^0.5-3 ≈ 3*(1+ x /18)-3 = 3+ x /6-3 → (9+ x )^0.5-3/ x ≈ 1/6

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商的分子和分母乘以sqrt(9+x)+3并化简。然后你的功能变成

f(x) = 1/(sqrt(9+x)+3)

它不会受到取消的影响，并且对小 x 给出了 1/6 的限制。

虽然这种变换是精确的，但如果您使用泰勒展开的下一个阶数，您可以获得稍微简单但有限的近似值

f(x) ~ 1/6 - 1/216 *x

x=1e-4 的相对误差为 0.1543203441e-10。