time-complexity - log(n!) 是否等同于 nlogn?(大 O 符号)
问题描述
在我的书中有一个选择题:
以下函数的大 O 表示法是什么:n^log(2) +log(n^n) + nlog(n!)
我知道 log(n!) 属于 O(nlogn),但我在网上看到它们是等价的。log(n!) 和 nlogn 是什么意思?如何:log(n!) = logn + log(n-1) + ... + log2 + log1 等价于 nlogn?
解决方案
设n/2
为 的整数除的n
商2
。我们有:
log(n!) = log(n) + log(n-1) + ... + log(n/2) + log(n/2 - 1) + ... + log(2) + log(1)
>= log(n/2) + log(n/2) + ... + log(n/2) + log(n/2 - 1) + ... + log(2)
>= (n/2)log(n/2) + (n/2)log(2)
>= (n/2)(log(n) -log(2) + log(2))
= (n/2)log(n)
然后
n log(n) <= 2log(n!) = O(log(n!))
和n log(n) = O(log(n!))
。反过来,
log(n!) <= log(n^n) = n log(n)
和log(n!) = O(n log(n))
。
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