matrix - 计算给定 4 个角的 3d 平面的变换矩阵

Question

我在世界原点有一个 3d 平面，它与世界 X/Y 平面（面向 Z 轴）对齐。然后，我有四个 3d 顶点位置，用于将新平面转换为 3d 空间中的某个位置。

两个平面对于所有 4 个顶点具有相同的缠绕顺序。

我保证 4 个角是平面的并且没有倾斜（平面可能仍然在 x/y 轴上单独缩放）。

给定该平面的最后 4 个角，如何创建 4x4 变换矩阵？

标签： matrix3dlinear-algebratransformation

Answer 1

假设飞机看起来像这样：

构建平面的“局部基础”，具有：

• X轴平行于AD/BC
• Y轴平行于AB/CD
• Z轴平行于法线
• 原点 O 在四边形的中心

变换矩阵可以分解为3 个分量：

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1 – 规模

由于原始四边形的尺寸为 1x1 单位，因此沿 X 和 Y 局部轴的比例因子只是边长，即分别为 AD 和 AB 的长度。由于四边形是平面的，因此忽略 Z 比例因子。

因此，缩放分量由下式给出：

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2 - 旋转

旋转分量可以直接从局部基准轴 X、Y、Z 构建；每个向量（归一化）是矩阵的对应列。

因此旋转分量由下式给出：

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3 - 翻译

这是最简单的一个；平移向量就是四边形中心 O 的绝对坐标，等于矩阵的最后一列。

因此，平移分量由下式给出：

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最终矩阵可以通过按以下顺序将上述相乘得到：

即按1 ⇨ 2 ⇨ 3的顺序应用组件。