python - 如何绘制迭代方法?
问题描述
在下面的代码中,我在 Python 中实现了二分法。作为一般概述,我的代码执行以下操作:
- 我的函数能够找到任意连续标量值函数 f 的根作为 lambda 函数和规定的函数容差。
- 我的例程在区间 [0,1] 上找到函数 f(x) = cos x - sin x 的根,公差为 10^{-14}
- 记录达到此容差所需的迭代次数。
但是现在我希望在同一时间间隔上绘制收敛图。这将是作为迭代次数函数的绝对误差。
为此,我必须在一个列表中收集一系列错误数字,并将其与整数列表 1 通过您的 iter 的最终值进行对比。
当我陷入困境时,我正在寻求一些帮助。我已经用不同的迭代方法制作了另外 2 个代码,所以一旦我看到它是如何在这个代码上工作的,我应该也能够在其他代码上实现它!非常感谢所有帮助
import math
def root(x):
return(math.cos(x)-math.sin(x))
def bisection_method(f, a, b, tol):
if f(a)*f(b) > 0:
#end function, no root.
print("No root found.")
else:
iter = 0
while (b - a)/2.0 > tol:
midpoint = (a + b)/2.0
if f(a)*f(midpoint) < 0: # Increasing but below 0 case
b = midpoint
else:
a = midpoint
iter += 1
return(midpoint, iter)
answer, iterations = bisection_method(root, 0, 1, 10**(-14))
print("Answer:", answer, "\nfound in", iterations, "iterations")
解决方案
好吧,而不是生成结果,您可以使它成为一个可迭代的,每次都会产生一个具有绝对误差和迭代的 2 元组,例如:
def bisection_method(f, a, b, tol):
if f(a)*f(b) > 0:
#end function, no root.
print("No root found.")
else:
iter = 0
while (b - a)/2.0 > tol:
midpoint = (a + b)/2.0
yield iter, abs(f(midpoint))
if f(a)*f(midpoint) < 0: # Increasing but below 0 case
b = midpoint
else:
a = midpoint
iter += 1
例如,这会产生:
>>> import numpy as np
>>> np.array(list(bisection_method(root, 0, 1.57, 10e-4)))
array([[0.00000000e+00, 5.63088062e-04],
[1.00000000e+00, 5.40415665e-01],
[2.00000000e+00, 2.75209010e-01],
[3.00000000e+00, 1.37986732e-01],
[4.00000000e+00, 6.87946039e-02],
[5.00000000e+00, 3.41260256e-02],
[6.00000000e+00, 1.67827312e-02],
[7.00000000e+00, 8.10997409e-03],
[8.00000000e+00, 3.77346075e-03],
[9.00000000e+00, 1.60518823e-03]])
然后我们可以将其绘制为:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
data = np.array(list(bisection_method(root, 0, 1, 10e-14)))
plt.plot(data[:,0], data[:,1])
plt.show()
对于 [0,1] 的范围,这为我们提供了以下图:
但是请注意,初始范围当然会产生巨大的影响:如果中点恰好位于根部,那么这当然只需要一次迭代。此外,如误差所示,下一个绝对误差本身并不小于前一个。该方法保证了“长时间”的改进(通常错误只会增加一两次迭代,所以“长时间”在这里是相对的)。
上面的信息不是很丰富,因为错误很快下降到一个明显的值以下,所以在一定次数的迭代后我们看不到太多错误。我们可以使用对数刻度,使最后的细节更清晰:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
data = np.array(list(bisection_method(root, 0, 1, 10e-14)))
plt.plot(data[:,0], data[:,1])
plt.yscale('log')
plt.show()
然后我们看到错误下降如下:
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