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python - 在python中向量化一个6 for循环累积和

问题描述

数学问题是：

在此处输入图像描述

总和中的表达式实际上比上面的表达式复杂得多，但这是一个最小的工作示例，不会使事情过于复杂。我使用 6 个嵌套的 for 循环在 Python 中编写了它，并且正如预期的那样，它的性能非常糟糕（真正的形式性能很差，需要评估数百万次），即使在 Numba、Cython 和朋友的帮助下也是如此。这里它是使用嵌套的 for 循环和累积和编写的：

import numpy as np

def func1(a,b,c,d):
    '''
    Minimal working example of multiple summation
    '''
    B = 0
    for ai in range(0,a):
        for bi in range(0,b):
            for ci in range(0,c):
                for di in range(0,d):
                    for ei in range(0,ai+bi):
                        for fi in range(0,ci+di):
                            B += (2)**(ei-fi-ai-ci-di+1)*(ei**2-2*(ei*fi)-7*di)*np.math.factorial(ei)


    return a, b, c, d, B

表达式由 4 个数字作为输入控制，func1(4,6,3,4)输出为B21769947.844726562。

我环顾四周寻求帮助，并找到了几个 Stack 帖子，其中一些示例是：

NumPy 中的外部产品：向量化六个嵌套循环

在具有不同数组形状的 Python/Numpy 中矢量化三重 for 循环

Python矢量化嵌套for循环

我尝试使用从这些有用的帖子中学到的东西，但经过多次尝试，我一直得到错误的答案。即使对一个内部总和进行矢量化，也会为真正的问题带来巨大的性能提升，但总和范围不同的事实似乎让我失望。有人对如何取得进展有任何提示吗？

标签： pythonnumpyfor-loopvectorization

解决方案

编辑 3：

最终（我认为）版本，结合了max9111 答案中的想法，更加简洁和快速。

import numpy as np
from numba import as nb

@nb.njit()
def func1_jit(a, b, c, d):
    # Precompute
    exp_min = 5 - (a + b + c + d)
    exp_max = b
    exp = 2. ** np.arange(exp_min, exp_max + 1)
    fact_e = np.empty((a + b - 2))
    fact_e[0] = 1
    for ei in range(1, len(fact_e)):
        fact_e[ei] = ei * fact_e[ei - 1]
    # Loops
    B = 0
    for ai in range(0, a):
        for bi in range(0, b):
            for ci in range(0, c):
                for di in range(0, d):
                    for ei in range(0, ai + bi):
                        for fi in range(0, ci + di):
                            B += exp[ei - fi - ai - ci - di + 1 - exp_min] * (ei * ei - 2 * (ei * fi) - 7 * di) * fact_e[ei]
    return B

这已经比以前的任何选项都快了，但我们仍然没有利用多个 CPU。一种方法是在函数本身内，例如并行化外循环。这会在每次调用创建线程时增加一些开销，因此对于较小的输入实际上会慢一些，但对于较大的值应该会明显更快：

import numpy as np
from numba import as nb

@nb.njit(parallel=True)
def func1_par(a, b, c, d):
    # Precompute
    exp_min = 5 - (a + b + c + d)
    exp_max = b
    exp = 2. ** np.arange(exp_min, exp_max + 1)
    fact_e = np.empty((a + b - 2))
    fact_e[0] = 1
    for ei in range(1, len(fact_e)):
        fact_e[ei] = ei * fact_e[ei - 1]
    # Loops
    B = np.empty((a,))
    for ai in nb.prange(0, a):
        Bi = 0
        for bi in range(0, b):
            for ci in range(0, c):
                for di in range(0, d):
                    for ei in range(0, ai + bi):
                        for fi in range(0, ci + di):
                            Bi += exp[ei - fi - ai - ci - di + 1 - exp_min] * (ei * ei - 2 * (ei * fi) - 7 * di) * fact_e[ei]
        B[ai] = Bi
    return np.sum(B)

或者，如果您有很多点要评估函数，您也可以在该级别进行并行化。这里a_arr、b_arr和是要评估函数的值的向量c_arr：d_arr

from numba import as nb

@nb.njit(parallel=True)
def func1_arr(a_arr, b_arr, c_arr, d_arr):
    B_arr = np.empty((len(a_arr),))
    for i in nb.prange(len(B_arr)):
        B_arr[i] = func1_jit(a_arr[i], b_arr[i], c_arr[i], d_arr[i])
    return B_arr

最佳配置取决于您的输入、使用模式、硬件等，因此您可以结合不同的想法来适应您的情况。

编辑2：

其实，忘记我之前说的话。最好的办法是对算法进行 JIT 编译，但以更有效的方式。首先计算昂贵的部分（我采用指数和阶乘），然后将其传递给编译后的循环函数：

import numpy as np
from numba import njit

def func1(a, b, c, d):
    exp_min = 5 - (a + b + c + d)
    exp_max = b
    exp = 2. ** np.arange(exp_min, exp_max + 1)
    ee = np.arange(a + b - 2)
    fact_e = scipy.special.factorial(ee)
    return func1_inner(a, b, c, d, exp_min, exp, fact_e)

@njit()
def func1_inner(a, b, c, d, exp_min, exp, fact_e):
    B = 0
    for ai in range(0, a):
        for bi in range(0, b):
            for ci in range(0, c):
                for di in range(0, d):
                    for ei in range(0, ai + bi):
                        for fi in range(0, ci + di):
                            B += exp[ei - fi - ai - ci - di + 1 - exp_min] * (ei * ei - 2 * (ei * fi) - 7 * di) * fact_e[ei]
    return B

在我的实验中，这是迄今为止最快的选择，并且几乎不需要额外的内存（仅预先计算的值，输入的大小是线性的）。

a, b, c, d = 4, 6, 3, 4
# The original function
%timeit func1_orig(a, b, c, d)
# 2.07 ms ± 33.7 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
# The grid-evaluated function
%timeit func1_grid(a, b, c, d)
# 256 µs ± 25 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)
# The precompuation + JIT-compiled function
%timeit func1_jit(a, b, c, d)
# 19.6 µs ± 3.25 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

好吧，总是可以选择对整个事物进行网格评估：

import numpy as np
import scipy.special

def func1(a, b, c, d):
    ai, bi, ci, di, ei, fi = np.ogrid[:a, :b, :c, :d, :a + b - 2, :c + d - 2]
    # Compute
    B = (2.) ** (ei - fi - ai - ci - di + 1) * (ei ** 2 - 2 * (ei * fi) - 7 * di) * scipy.special.factorial(ei)
    # Mask out of range elements for last two inner loops
    m = (ei < ai + bi) & (fi < ci + di)
    return np.sum(B * m)

print(func1(4, 6, 3, 4))
# 21769947.844726562

我之所以使用，是因为出于某种原因scipy.special.factorial显然np.factorial不适用于数组。

显然，随着参数的增加，内存成本会增长得非常快。代码实际上执行了比必要更多的计算，因为两个内部循环具有不同数量的迭代，因此（在此方法中）您必须使用最大的，然后删除不需要的。希望矢量化能够弥补这一点。一个小的 IPython 基准测试：

a, b, c, d = 4, 6, 3, 4
# func1_orig is the original loop-based version
%timeit func1_orig(a, b, c, d)
# 2.9 ms ± 110 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
# func1 here is the vectorized version
%timeit func1(a, b, c, d)
# 210 µs ± 6.34 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

编辑：

请注意，以前的方法也不是全有或全无的事情。您可以选择仅对某些循环进行网格评估。例如，两个最里面的循环可以像这样被矢量化：

def func1(a, b, c, d):
    B = 0
    e = np.arange(a + b - 2).reshape((-1, 1))
    f = np.arange(c + d - 2)
    for ai in range(0, a):
        for bi in range(0, b):
            ei = e[:ai + bi]
            for ci in range(0, c):
                for di in range(0, d):
                    fi = f[:ci + di]
                    B += np.sum((2.) ** (ei - fi - ai - ci - di + 1) * (ei ** 2 - 2 * (ei * fi) - 7 * di) * scipy.special.factorial(ei))
    return B

这仍然有循环，但它确实避免了额外的计算，并且内存要求要低得多。哪个最好取决于我猜的输入的大小。在我的测试中，使用原始值 (4, 6, 3, 4) 这比原始函数还要慢；ei此外，在这种情况下，为每个循环创建新数组似乎fi比在预先创建的切片上操作更快。但是，如果将输入乘以 4 (14, 24, 12, 16)，那么这比原来的速度快得多（大约 x5），尽管仍然比完全矢量化的速度（大约 x3）慢。另一方面，我可以用这个（大约 5 分钟）计算输入缩放十（40、60、30、40）的值，但由于内存而不是前一个（我没有测试如何使用原始功能需要很长时间）。使用@numba.jitnopython有点帮助，虽然不是很大（由于阶乘函数而不能使用）。您可以根据输入的大小尝试对更多或更少的循环进行矢量化。

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