c - 三种颜色三角形

问题描述

我正在尝试为这个问题编写代码：

（来源：https ://www.codewars.com/kata/insane-coloured-triangles/train/c ）

彩色三角形由一排颜色组成，每一种颜色都是红色、绿色或蓝色。通过考虑前一行中的两种接触颜色来生成连续的行，每行都比上一行少一种颜色。如果这些颜色相同，则在新行中使用相同的颜色。如果它们不同，则在新行中使用缺失的颜色。这一直持续到最后一行产生，只有一种颜色。

例如，不同的可能性是：
Colour here:            G G        B G        R G        B R 
Becomes colour here:     G          R          B          G 

With a bigger example:
   R R G B R G B B  
    R B R G B R B
     G G B R G G
      G R G B G
       B B R R
        B G R
         R B
          G
您将获得三角形的第一行作为字符串，您的工作是返回最终颜色，该颜色将作为字符串出现在底行。在上面的例子中，你会得到'RRGBRGBB'，你应该返回'G'。

约束：
1 <= length(row) <= 10 ** 5
输入字符串将仅包含大写字母 ' B', 'G' or 'R'。

测试用例的确切数量如下：
100 tests of 100 <= length(row) <= 1000 
100 tests of 1000 <= length(row) <= 10000 
100 tests of 10000 <= length(row) <= 100000
例子：
triangle('B') == 'B'
triangle('GB') == 'R'
triangle('RRR') == 'R'
triangle('RGBG') == 'B'
triangle('RBRGBRB') == 'G'
triangle('RBRGBRBGGRRRBGBBBGG') == 'G'

所以我制作了这段代码，它适用于所有样本口味，但是当它length of row > 25由于我的阶乘函数而失败时，在某些情况下长度最多100,000，所以任何解决这个问题的建议至少是任何数学公式可以解决问题还是一个小提示。

顺便说一句，在我找到解决此站点问题的数学方法后，我编写了此代码：

https://math.stackexchange.com/questions/2257158/three-color-triangle-challenge

long long factorial(long long num)     
{
    long long fact = num;

    if (fact == 0)
        fact = 1;

    while (num > 1)
    {
        num--;
        fact *= num;
    }
    return (fact);
}

long long combination(long long n, long long k, long long fact_n)
{
    long long fact_k = factorial(k);
    long long comb = ( fact_n / (fact_k * factorial(n - k)) );
    return (comb);
}

char triangle(const char *row)
{
    long long len = strlen(row);
    long long n = len - 1;
    long long k = 0;
    int sign = pow(-1,n);
    long long sum = 0;
    char *result = "RGB";
    int a;
    long long fact_n = factorial(n);

    while (k < len)                 //This while calculate Segma (∑). 
    {
        if (row[k] == 'R')
            a = 0;
        else if (row[k] == 'G')
            a = 1;
        else if (row[k] == 'B')
            a = 2;

        if (a != 0)
            sum = sum + (combination(n,k,fact_n) * a); 
        k++;
    }

    sum = sign * (sum % 3);

    if (sum == -1 || sum == -2)
        sum += 3;

  return (result[sum]);
}

标签： cmathprobabilityfactorial

解决方案

我将假设您提供的链接中的公式是正确的：

为了避免整数溢出，我们需要应用这些模运算规则：

(a * b) mod c = ((a mod c) * (b mod c)) mod c

(a ± b) mod c = ((a mod c) ± (b mod c)) mod c

将它们应用于公式：

但是我们如何计算

...不直接计算系数本身（这会导致溢出）？

由于 3 是质数，这可以通过卢卡斯定理来实现：

... base-3n_i, m_i的i第 - 个数字n, m在哪里。

使用整数除法很容易转换为 base-3：

// convert a number to base 3
// and returns the number of digits
unsigned conv_base_3(unsigned n, unsigned max, unsigned* out)
{
    unsigned i = 0;
    while (i < max && n > 0)
    {
        out[i] = n % 3;
        n /= 3;
        i++;
    }
    return i;
}

请注意，由于n_i, m_i它们始终在范围内[0, 2]（因为它们是以 3 为基数），C(n_i, m_i)因此很容易计算：

// calculate the binomial coefficient for n < 3
unsigned binom_max_2(unsigned n, unsigned k)
{
    if (n < k)
        return 0;
    switch (n)
    {
        case 0:
        case 1:
            return 1;
        case 2:
            return 1 + (k == 1);

        // shouldn't happen
        default:
            return 0;
    }
}

现在定理本身：

// Lucas's theorem for p = 3
unsigned lucas_3(
    unsigned len_n, const unsigned * dig_n,
    unsigned len_k, const unsigned * dig_k
)
{
    // use modulo product rule:
    // prod[i] % 3 = ((prod[i - 1] % 3) * value[i])      
    unsigned prod = 1;
    for (unsigned i = 0; i < len_n; i++) {
        unsigned n_i = dig_n[i];
        unsigned k_i = (i < len_k) ? dig_k[i] : 0;
        prod = (prod * binom_max_2(n_i, k_i)) % 3;
    }
    return prod % 3;
}

字符转换：

// convert from 012 to RGB
char int_2_char(int i)
{
    switch (i) {
        case 0: return 'R';
        case 1: return 'G';
        case 2: return 'B';

        // shouldn't happen
        default:
            return '\0';
    }
}

// convert from RGB to 012
unsigned char_2_int(char c)
{
    switch (c) {
        case 'R': return 0;
        case 'G': return 1;
        case 'B': return 2;

        // shouldn't happen
        default:
            return 3;
    }
}

最后，三角算法：

// the problem constraints state that n <= 10 ** 5
// max number of base-3 digits
#define MAX_N_LOG_3 11

// main algorithm function
char triangle(const char * input)
{
    unsigned sum = 0;
    const int n = strlen(input);

    // calculate digits of n - 1
    unsigned dig_n[MAX_N_LOG_3];
    unsigned len_n = conv_base_3(n - 1, MAX_N_LOG_3, dig_n);

    for (unsigned km1 = 0; km1 < n; km1++)
    {
        // calculate digits of k - 1
        unsigned dig_k[MAX_N_LOG_3];
        unsigned len_k = conv_base_3(km1, MAX_N_LOG_3, dig_k);

        // calculate C(n - 1, k - 1) mod 3
        unsigned Cnk_mod3 = lucas_3(len_n, dig_n, len_k, dig_k);

        // add using the modulo rule
        sum = (sum + Cnk_mod3 * char_2_int(input[km1])) % 3;
    }

    // value of (-1) ** (n - 1)
    // (no need for pow; just need to know if n is odd or even)
    int sign = (n % 2) * 2 - 1;

    // for negative numbers, must resolve the difference
    // between C's % operator and mathematical mod
    int sum_mod3 = (3 + (sign * (int)(sum % 3)) % 3;
    return int_2_char(sum_mod3);
}

上面的代码通过了所有测试；请注意，它是为了清晰而不是性能而编写的。

那么为什么这段代码能够在分配的时间内通过所有测试，而简单的基于表格的方法却不能呢？由于其时间复杂度：

基于表格的方法处理三角形的所有级别，即O(n^2)（参见三角形编号）。
当然，使用Lucas的算法，只需要处理顶层即可；但是算法本身是O(log n)，因为它循环遍历n（无论基数如何）的每个数字。整体复杂度是O(n log n)，这仍然代表着显着的改进。

c - 三种颜色三角形

问题描述

解决方案

推荐阅读