c - 就浮点数而言，它的 msb 是否有正确的常量表达式？

Question

问题：给定一个浮点常量表达式，我们能否编写一个宏来计算一个常量表达式，其值是 2 的幂，等于有效数的最高位？等效地，这只是幅度上小于或等于输入的 2 的最大幂。

出于这个问题的目的，我们可以忽略：

• 接近溢出或接近下溢的值（它们可以通过有限的?:重新缩放应用程序处理）。
• 负输入（它们可以同样处理）。
• Non-Annex-F-conforming 实现（不能真正用它们做任何有用的浮点运算）。
• 超出精度的怪异（float_t并且double_t可以FLT_EVAL_METHOD与其他float.h宏一起使用以安全地处理它）。

因此，对于远离无穷大和非正规范围的正值，它足以解决问题。

请注意，此问题等效于查找特定值的“epsilon”，即nextafter(x,INF)-x（或 or 中的等价物float）long double，结果仅按比例缩放DBL_EPSILON（或类型的等价物）。如果解决方案更简单，则完全可以接受。

我有一个建议的解决方案，我将其作为自我回答发布，但我不确定它是否正确。

标签： cfloating-pointconstant-expression

Answer 1

如果您可以假设 IEEE 754 binary64 格式和语义（特别是算术运算是正确舍入的），以及舍入到偶数舍入模式，那么对于任何不太小的不太-large 正有限double值x，下一个可表示的值x总是由x / 0x1.fffffffffffffp-1（其中0x1.fffffffffffffp-1只是1.0 - 0.5 * DBL_EPSILON拼写为十六进制文字）给出。

因此，我们可以简单地从以下方面获得您要求的最重要的位：

(x / 0x1.fffffffffffffp-1 - x) * 0x1.0p+52

当然float，假设 IEEE 754 binary32 格式和语义，也有类似的结果。

事实上，唯一失败的正常正值是DBL_MAX，除法的结果溢出到无穷大。

x为了证明除法技巧有效，在范围内证明它就足够了1.0 <= x < 2.0；很容易证明，对于x这个范围内的任何一个， x / 0x1.fffffffffffffp-1 - x（在这种情况下，其中/表示数学除法）的值位于半开区间(2^-53, 2^52]，因此在圆到偶数（或实际上任何圆-到最近舍入模式），向上舍入x / 0x1.fffffffffffffp-1到下一个可表示的值。

类似地，在相同的假设下，x * 0x1.fffffffffffffp-1总是从 下一个可表示的值x。