python - 对数正态分布的均值和标准差与分析值不匹配

Question

作为我研究的一部分，我从对数正态分布中测量平均数和标准差。给定基础正态分布的值，应该可以分析预测这些数量（如https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution中给出的）。

但是，如下图所示，情况似乎并非如此。第一个图显示了对数正态数据与高斯 sigma 的平均值，而第二个图显示了对数正态数据与高斯数据的 sigma。显然，“计算的”线与“分析的”线有很大的偏差。

我将高斯分布的平均值与 sigma 相关联，mu = -0.5*sigma**2因为这样可以确保对数正态场的平均值应为 1。请注意，这是由我所从事的物理学领域推动的：与分析值的偏差仍然例如，如果您设置mu=0.0。

通过复制并粘贴问题底部的代码，应该可以重现下面的图表。任何关于可能导致这种情况的建议将不胜感激！

对数正态平均值与高斯 sigma 的平均值：

对数正态的西格玛与高斯的西格玛：

请注意，为了生成上面的图，我使用了N=10000，但是N=1000为了速度，已经输入了下面的代码。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mean_calc = []
sigma_calc = []
mean_analytic = []
sigma_analytic = []
ss = np.linspace(1.0,10.0,46)
N = 1000

for s in ss:
  mu = -0.5*s*s
  ln = np.random.lognormal(mean=mu, sigma=s, size=(N,N))
  mean_calc += [np.average(ln)]
  sigma_calc += [np.std(ln)]
  mean_analytic += [np.exp(mu+0.5*s*s)]
  sigma_analytic += [np.sqrt((np.exp(s**2)-1)*(np.exp(2*mu + s*s)))]

plt.loglog(ss,mean_calc,label='calculated')
plt.loglog(ss,mean_analytic,label='analytic')
plt.legend();plt.grid()
plt.xlabel(r'$\sigma_G$')
plt.ylabel(r'$\mu_{LN}$')
plt.show()

plt.loglog(ss,sigma_calc,label='calculated')
plt.loglog(ss,sigma_analytic,label='analytic')
plt.legend();plt.grid()
plt.xlabel(r'$\sigma_G$')
plt.ylabel(r'$\sigma_{LN}$')
plt.show()

标签： pythonnumpyfloating-pointmeanstandard-deviation

Answer 1

TL;博士

对数正态分布是正偏态和重尾分布。在对从高度偏态分布中抽取的样本执行浮点算术运算（例如求和、均值或标准差）时，采样向量包含具有多个数量级（数十年）差异的值。这使得计算不准确。

问题来自这两行：

mean_calc += [np.average(ln)]
sigma_calc += [np.std(ln)]

因为ln包含非常低和非常高的值，其数量级远高于浮点精度。

可以使用以下谓词轻松检测到该问题，以警告用户其计算错误：

 (max(ln) + min(ln)) <= max(ln)

这在严格正实数中显然是错误的，但在使用有限精度算术时必须考虑。

修改你的 MCVE

如果我们将您的MCVE稍微修改为：

from scipy import stats

for s in ss:
    mu = -0.5*s*s
    ln = stats.lognorm(s, scale=np.exp(mu)).rvs(N*N)
    f = stats.lognorm.fit(ln, floc=0)
    mean_calc += [f[2]*np.exp(0.5*s*s)]
    sigma_calc += [np.sqrt((np.exp(f[0]**2)-1)*(np.exp(2*mu + s*s)))]
    mean_analytic += [np.exp(mu+0.5*s*s)]
    sigma_analytic += [np.sqrt((np.exp(s**2)-1)*(np.exp(2*mu + s*s)))]

即使对于高 sigma 值，它也给出了合理正确的均值和标准差估计。

关键是fit使用 MLE 算法来估计参数。这与您直接执行样本平均值的原始方法完全不同。

该fit方法返回一个元组，(sigma, loc=0, scale=exp(mu))它是scipy.stats.lognorm文档中指定的对象的参数。

我认为您应该调查如何估计均值和标准差。分歧可能来自算法的这一部分。

它可能有几个不同的原因，至少考虑一下：

• 有偏估计：您的估计是否正确且无偏？均值是无偏估计量（见下一节），但可能效率不高；
• Pseudo Random Generator 的采样异常值可能不像理论分布那样强烈：也许 MLE 不如您的估计器敏感新的 MCVE 波纹管不支持这个假设，但 Float Arithmetic Error 可以解释为什么您的估计器被低估了；
• 浮点算术错误下面的新 MCVE 突出显示它是您的问题的一部分。

科学报价

似乎朴素的均值估计器（简单地取均值），即使是无偏的，也无法正确估计大 sigma 的均值（参见Qi Tang，用于估计对数正态均值的不同方法的比较，第 11 页）：

朴素估计量易于计算且无偏。但是，当方差较大且样本量较小时，此估计器可能效率低下。

论文回顾了几种估计对数正态分布均值的方法，并以MLE作为比较的参考。这解释了为什么您的方法会随着 sigma 的增加而漂移，而 MLE 会更好，因为它对于大 N 来说时间效率不高。非常有趣的论文。

统计考虑

回忆比：

• 对数正态分布是一个重且长尾的正偏态分布。一个后果是：随着形状参数 sigma 的增长，不对称性和偏度会增加，异常值的强度也会增加。
• 样本量的影响：随着从分布中抽取的样本数量的增加，对异常值的期望会增加（范围也会增加）。

构建新的 MCVE

让我们构建一个新的 MCVE 以使其更清晰。下面的代码从对数正态分布中抽取不同大小的样本（N范围介于100和之间），其中形状参数变化（范围介于和之间）并且比例参数设置为单一的。10000sigma0.110

import warnings
import numpy as np
from scipy import stats

# Make computation reproducible among batches:
np.random.seed(123456789)

# Parameters ranges:
sigmas = np.arange(0.1, 10.1, 0.1)
sizes = np.logspace(2, 5, 21, base=10).astype(int)

# Placeholders:
rv = np.empty((sigmas.size,), dtype=object)
xmean = np.full((3, sigmas.size, sizes.size), np.nan)
xstd = np.full((3, sigmas.size, sizes.size), np.nan)
xextent = np.full((2, sigmas.size, sizes.size), np.nan)
eps = np.finfo(np.float64).eps

# Iterate Shape Parameter:
for (i, s) in enumerate(sigmas):
    # Create Random Variable:
    rv[i] = stats.lognorm(s, loc=0, scale=1)
    # Iterate Sample Size:
    for (j, N) in enumerate(sizes):
        # Draw Samples:
        xs = rv[i].rvs(N)
        # Sample Extent:
        xextent[:,i,j] = [np.min(xs), np.max(xs)]
        # Check (max(x) + min(x)) <= max(x)
        if (xextent[0,i,j] + xextent[1,i,j]) - xextent[1,i,j] < eps:
            warnings.warn("Potential Float Arithmetic Errors: logN(mu=%.2f, sigma=%2f).sample(%d)" % (0, s, N))
        # Generate different Estimators:
        # Fit Parameters using MLE:
        fit = stats.lognorm.fit(xs, floc=0)
        xmean[0,i,j] = fit[2]
        xstd[0,i,j] = fit[0]
        # Naive (Bad Estimators because of Float Arithmetic Error):
        xmean[1,i,j] = np.mean(xs)*np.exp(-0.5*s**2)
        xstd[1,i,j] = np.sqrt(np.log(np.std(xs)**2*np.exp(-s**2)+1))
        # Log-transform:
        xmean[2,i,j] = np.exp(np.mean(np.log(xs)))
        xstd[2,i,j] = np.std(np.log(xs))

观察：新的 MCVE 在sigma > 4.

MLE 作为参考

使用 MLE 估计形状和比例参数表现良好：

上两图显示比：

• 估计误差随着形状参数的增加而增加；
• 估计误差随着样本量的增加而减少（CTL）；

请注意，MLE 也很适合 shape 参数：

浮点算术

值得绘制样本的范围与形状参数和样本大小的关系：

或者最小和最大数字之间的十进制大小形成样本：

在我的设置中：

np.finfo(np.float64).precision  # 15
np.finfo(np.float64).eps        # 2.220446049250313e-16

这意味着我们最多可以使用 15 个有效数字，如果两个数字之间的大小超过，那么最大的数字会吸收较小的数字。

一个基本的例子：1 + 1e6如果我们只能保留四个有效数字，结果是什么？确切的结果是1,000,001.0，但它必须四舍五入到1.000e6。这意味着：由于舍入精度，运算结果等于最大数。它是有限精度算术固有的。

上面两个前两个数字结合统计考虑支持您的观察，即增加N不会改善sigmaMCVE 中较大值的估计。

上图和下图显示了当sigma > 3我们没有足够的有效数字（小于 5）来执行有效计算时。

此外，我们可以说估计器会被低估，因为最大的数字将吸收最小的数字，然后通过N使估计器默认有偏差来划分被低估的总和。

当形状参数变得足够大时，由于算术浮点错误，计算会产生很大的偏差。

这意味着使用以下数量：

np.mean(xs)
np.std(xs)

由于存储在xs. 下图重现了您的问题：

如前所述，估计是默认的（不过度），因为采样向量中的高值（少数异常值）吸收了小值（大部分采样值）。

对数变换

如果我们应用对数变换，我们可以大大减少这种现象：

xmean[2,i,j] = np.exp(np.mean(np.log(xs)))
xstd[2,i,j] = np.std(np.log(xs))

然后对平均值的天真估计是正确的，并且受算术浮点误差的影响要小得多，因为所有样本值都将位于几十年内，而不是具有高于浮点算术精度的相对幅度。

N实际上，对于每个和，采用对数变换返回的均值和标准差估计结果与 MLE 相同sigma：

np.allclose(xmean[0,:,:], xmean[2,:,:])  # True
np.allclose(xstd[0,:,:], xstd[2,:,:])    # True

参考

如果您在执行科学计算时正在寻找对此类问题的完整和详细的解释，我建议您阅读优秀的书籍：NJ Higham , Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, Siam, Second Edition, 2002。

奖金

这是一个图形生成代码的示例：

import matplotlib.pyplot as plt

fig, axe = plt.subplots()
idx = slice(None, None, 5)
axe.loglog(sigmas, xmean[0,:,idx])
axe.axhline(1, linestyle=':', color='k')
axe.set_title(r"MLE: $x \sim \log\mathcal{N}(\mu=0,\sigma)$")
axe.set_xlabel(r"Standard Deviation, $\sigma$")
axe.set_ylabel(r"Mean Estimation, $\hat{\mu}$")
axe.set_ylim([0.1,10])
lgd = axe.legend([r"$N = %d$" % s for s in sizes[idx]] + ['Exact'], bbox_to_anchor=(1,1), loc='upper left')
axe.grid(which='both')
fig.savefig('Lognorm_MLE_Emean_Sigma.png', dpi=120, bbox_extra_artists=(lgd,), bbox_inches='tight')