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algorithm - 最长回文子串自顶向下递归方法

问题描述

我正在尝试解决Leetcode 上最长的回文子串。我知道这个问题的解决方案，比如围绕中心展开或动态编程自下而上的方法。出于纯粹的教育目的，我想以自上而下的递归方式解决这个问题。我正在尝试找到类似于此处或此处描述的解决方案。（问题略有不同）。我有这个功能：

private (int Start, int End) Longest(string s, int i, int j)

它采用字符串+搜索的开始和结束位置。返回的元组是最长回文的开始和结束。我试图分成这些情况：

  1. if s[i] == s[j] 调查 Longest(s, i+1, j-1)
  2. 调查最长(s, i+1, j)
  3. 调查最长(s, i, j - 1)
  4. 从这三个中返回最长（返回的开始和结束之间的最大差异）

当然，我使用以元组 (int, int) 作为键（i 和 j 的值）的字典来记住所有计算结果，以便不再计算它们。

完整的代码如下，但是当我尝试修复算法时，经过几次迭代后它非常混乱。我相信创建代码不是很重要。

代码似乎返回了正确的结果，但在 Leetcode 上的 Time Limit Exceeded 上失败了。是否有正确的快速递归解决方案？我相信应该存在 DP 自下而上的解决方案。

代码：

private readonly IDictionary<(int, int), (int, int)> _mem = new Dictionary<(int, int), (int, int)>();

private (int Start, int End) Longest(string s, int i, int j) {
    if (i >= j) {
        return (i, j);
    }

    if (_mem.TryGetValue((i, j), out var ret)) {
        return ret;
    }

    var newI = i + 1;
    var newJ = j - 1;

    ValueTuple<int, int> removingTwo;

    if (s[i] == s[j])
    {
        removingTwo = Longest(s, newI, newJ);

        if (removingTwo.Item1 == newI && removingTwo.Item2 == newJ) {
            removingTwo.Item1--;
            removingTwo.Item2++;
        }
    }
    else {
        removingTwo = (1, 0);
    }

    var removingFirst = Longest(s, newI, j);
    var removingLast = Longest(s, i, newJ);  

    var mT = removingTwo.Item2 - removingTwo.Item1;
    var mF = removingFirst.End - removingFirst.Start;
    var mL = removingLast.End - removingLast.Start;

    var max = Math.Max(mT, mF);
    max = Math.Max(max, mL);

    ValueTuple<int, int> retVal;

    if (max == mT) retVal = removingTwo;
    else if (max == mF) retVal = removingFirst;
    else retVal = removingLast;

    _mem.Add((i, j), retVal);

    return retVal;

}

编辑：工作自下而上的解决方案（从geegsforgeegs复制）：

public string LongestPalindrome(string s) {
    if (s.Length == 0) return "";
    var table = new bool[s.Length, s.Length];
    var len = s.Length;
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        table[i,i] = true;
    }

    var start = 0;
    var max = 1;
    for (int i = 0; i < len - 1; i++) {
        if (s[i] == s[i + 1]) {
            start = i;
            max = 2;
            table[i, i+1] = true;
        }
    }

    for (int k = 3; k <= len; ++k) { 

              // Fix the starting index 
        for (int i = 0; i < len - k + 1; ++i)  
        { 
            // Get the ending index of substring from 
            // starting index i and length k 
            int j = i + k - 1; 

            // checking for sub-string from ith index to 
            // jth index iff str.charAt(i+1) to  
            // str.charAt(j-1) is a palindrome 
            if (table[i + 1, j - 1] && s[i] == s[j]) { 
                table[i,j] = true; 

                if (k > max) { 
                    start = i; 
                    max = k; 
                } 
            } 
        } 
    } 

    return s.Substring(start, max);
}

标签： algorithmrecursiondynamic-programminglongest-substring

解决方案

这是 Python 中通过 LeetCode 测试的递归方法。可能他们正在寻找一个恒定的空间解决方案。

f(i, k)返回(l, j)，长度的最大元组l 及其起始索引，j。 max在这种情况下，正在查看返回元组的第一个元素，l即回文的长度。

def longestPalindrome(self, s):
  def f(i, k):
    return max(
      # next iteration
      f(i - 1, 1) if k < 2 and i > 0 else (-1,-1),
      f(i - 1, 2) if k < 2 and i > 0 and s[i-1] == s[i] else (-1, -1),

      # a larger palindrome than this one
      f(i - 1, k + 2) if i > 0 and i + k < len(s) and s[i-1] == s[i + k] else (-1, -1),

      # this one
      (k, i)
    )

  (l, j) = f(len(s) - 1, 1)
  return s[j:j+l]

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