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python - 在 SymPy 多项式中以 p 为模改变系数

问题描述

这学期我在研究生院上了一门密码学课程，其中一个主题是 NTRU。我试图用纯 Python 编写这个代码，纯粹是作为一种爱好。当我试图找到多项式的反模 p（在本例中为 p = 3）时，当我想要严格的正系数时，SymPy 总是返回负系数。这是我的代码。我会解释我的意思。

import sympy as sym
from sympy import GF

def make_poly(N,coeffs):
    """Create a polynomial in x."""
    x = sym.Symbol('x')
    coeffs = list(reversed(coeffs))
    y = 0
    for i in range(N):
        y += (x**i)*coeffs[i]
    y = sym.poly(y)
    return y

N = 7
p = 3
q = 41
f = [1,0,-1,1,1,0,-1]

f_poly = make_poly(N,f)

x = sym.Symbol('x')

Fp = sym.polys.polytools.invert(f_poly,x**N-1,domain=GF(p))
Fq = sym.polys.polytools.invert(f_poly,x**N-1,domain=GF(q))

print('\nf =',f_poly)
print('\nFp =',Fp)
print('\nFq =',Fq)

在这段代码中，f_poly是一个次数最多为 6 的多项式（它的次数最多为N-1），其系数来自列表f（第一个条目f是 的最高幂的系数，x按降序排列）。

现在，我想f_poly在卷积多项式环中找到 的逆多项式Rp = (Z/pZ)[x]/(x^N - 1)(Z/pZ)[x]（对于 类似q）。底部打印语句的输出是：

f = Poly(x**6 - x**4 + x**3 + x**2 - 1, x, domain='ZZ')
Fp = Poly(x**6 - x**5 + x**3 + x**2 + x + 1, x, modulus=3)
Fq = Poly(8*x**6 - 15*x**5 - 10*x**4 - 20*x**3 - x**2 + 2*x - 4, x, modulus=41)

这些多项式的模数是正确的，但我希望在任何地方都有正系数，因为稍后在算法中涉及一些中心提升，所以我需要有正系数。结果应该是

Fp = x^6 + 2x^5 + x^3 + x^2 + x + 1
Fq = 8x^6 + 26x^5 + 31x^4 + 21x^3 + 40x^2 + 2x + 37

我得到的答案在模数上是正确的，但我认为 SymPyinvert正在将一些系数更改为负变体，而不是留在模内。

有什么办法可以更新这个多项式的系数，使其模数只有正系数，或者这只是 SymPy 函数的产物？我想保留 SymPyPoly格式，以便以后可以使用它的一些嵌入式功能。任何见解将不胜感激！

标签： pythonpython-3.xsympypolynomials

解决方案

这似乎取决于有限域对象如何在GF给定模数周围“包裹”整数。默认行为是symmetric，这意味着映射到 的任何整数，x否则映射到。所以，而。您可以通过传递参数始终映射到正数：x % modulo <= modulo//2x % modulo(x % modulo) - moduloGF(10)(5) == 5GF(10)(6) == -4GFsymmetric=False

import sympy as sym
from sympy import GF

def make_poly(N, coeffs):
    """Create a polynomial in x."""
    x = sym.Symbol('x')
    coeffs = list(reversed(coeffs))
    y = 0
    for i in range(N):
        y += (x**i)*coeffs[i]
    y = sym.poly(y)
    return y

N = 7
p = 3
q = 41
f = [1,0,-1,1,1,0,-1]

f_poly = make_poly(N,f)

x = sym.Symbol('x')

Fp = sym.polys.polytools.invert(f_poly,x**N-1,domain=GF(p, symmetric=False))
Fq = sym.polys.polytools.invert(f_poly,x**N-1,domain=GF(q, symmetric=False))

print('\nf =',f_poly)
print('\nFp =',Fp)
print('\nFq =',Fq)

现在你会得到你想要的多项式：

f = Poly(x**6 - x**4 + x**3 + x**2 - 1, x, domain='ZZ')
Fp = Poly(x**6 + 2*x**5 + x**3 + x**2 + x + 1, x, modulus=3)
Fq = Poly(8*x**6 + 26*x**5 + 31*x**4 + 21*x**3 + 40*x**2 + 2*x + 37, x, modulus=41)

主要作为我自己参考的注释，以下是Fp使用 Mathematica 的方法：

Fp = PolynomialMod[Algebra`PolynomialPowerMod`PolynomialPowerMod[x^6 - x^4 + x^3 + x^2 - 1, -1, x, x^7 - 1], 3]

输出：

1 + x + x^2 + x^3 + 2 x^5 + x^6

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