floating-point - IEEE754 FP32/64 标准错误

Question

我的教科书中有一个练习，其中指出：

给定 IEEE754 FP32/64 标准，指出保持不变的错误类型（绝对或相对）（可能用公式简要地激发答案）。

公式为：

恒定相对误差：

我发现很难理解练习在谈论什么。绝对错误不是保持不变的错误类型吗？有人可以为我澄清一下吗？

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Answer 1

这是一个不好的问题，有几个原因，但作者可能想要相对错误。

对于任何固定的输入和操作，结果都是固定的，因此当然任何误差度量都是固定的。只有在变化的情况下询问什么是不变的才有意义。所以问题应该说什么不同。我们可以假设它们意味着输入是不同的。

它还应该说明相对误差是相对于什么测量的。对于单个操作，通常相对于理想的数学结果来测量误差。（当有操作序列时，错误会受到中间结果的影响，我们有时会对这些影响感兴趣。我们假设作者打算相对于理想的数学结果产生错误。）

随着输入的变化，绝对误差和相对误差都不是完全恒定的。它们受到浮点表示中的伪影的影响，因此它们以类似于在计算中添加随机噪声的方式波动。当考虑到许多输入产生类似量级的结果时，误差会随着 ½ ULP（最小精度单位）的范围而变化（假设四舍五入到最接近）。它上下弹跳，又有点类似于噪音。当输出跨越浮点表示中的指数边界时，波动按比例增长或缩小。

这是作者认为“恒定”的比例。粗略地说，相对误差保持在相对于理想数学结果的大小恒定的范围内。它们实际上不是恒定的，但是邻域中的误差有一个很好的界限，相对于幅度是恒定的（直到我们达到浮点格式支持的幅度的上限或下限）。相反，绝对误差的类似界限不是恒定的；它随着结果的增长而增长。