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matrix - 酉矩阵的数值对角化

问题描述

为了对酉矩阵进行数值对角化，我使用 LAPACK 例程zgeev。

问题是：在退化的情况下，退化子空间不是正交归一化的，因为该例程适用于一般矩阵。

但是，由于在我的情况下矩阵是单一的，因此可以始终对基础进行正交归一化。有没有比之后将 QR 算法应用于退化子空间更好的解决方案？

标签： matrixlapackeigenvector

解决方案

简短的回答：Schur decomposition！

如果方阵A是复数，则其 Schur 因式分解为A=ZTZ*，其中Z为酉且T为上三角矩阵。如果A碰巧是单一的，T也必须是单一的。由于T既是单一的又是三角形的，所以它是对角线（证明这里， .或那里） 让我们考虑向量Z.e_i，其中 e_i 是规范基的向量。这些向量显然形成了一个标准正交基。此外，这些向量是矩阵的特征向量A。 因此，酉矩阵 Z 的列是酉矩阵的特征向量A并形成正交基。

因此，计算酉矩阵的 Schur 分解等效于找到其特征向量的正交基之一。

ZGEESX计算 GE 矩阵的特征值、Schur 形式以及可选的 Schur 向量矩阵

T也可以对结果进行测试以检查是否A是单一的。

这是一段测试它的 python 代码，尽管 scipyscipy.linalg.schur 使用 Lapack 的 zgees 进行 Schur 分解。我使用 hpaulj 的代码生成随机酉矩阵，如How to create random orthonormal matrix in python numpy

import numpy as np
import scipy.linalg

#from hpaulj, https://stackoverflow.com/questions/38426349/how-to-create-random-orthonormal-matrix-in-python-numpy
def rvs(dim=3):
     random_state = np.random
     H = np.eye(dim)
     D = np.ones((dim,))
     for n in range(1, dim):
         x = random_state.normal(size=(dim-n+1,))
         D[n-1] = np.sign(x[0])
         x[0] -= D[n-1]*np.sqrt((x*x).sum())
         # Householder transformation
         Hx = (np.eye(dim-n+1) - 2.*np.outer(x, x)/(x*x).sum())
         mat = np.eye(dim)
         mat[n-1:, n-1:] = Hx
         H = np.dot(H, mat)
         # Fix the last sign such that the determinant is 1
     D[-1] = (-1)**(1-(dim % 2))*D.prod()
     # Equivalent to np.dot(np.diag(D), H) but faster, apparently
     H = (D*H.T).T
     return H

n=42
A= rvs(n)
A = A.astype(complex)
T,Z=scipy.linalg.schur(A,output='complex',lwork=None,overwrite_a=False,sort=None,check_finite=True)

#print T
normT=np.linalg.norm(T,ord=None) #2-norm
eigenvalues=[]
for i in range(n):
    eigenvalues.append(T[i,i])
    T[i,i]=0.
normTu=np.linalg.norm(T,ord=None)
print 'must be very low if A is unitary: ',normTu/normT

#print Z
for i in range(n):
    v=Z[:,i]
    w=A.dot(v)-eigenvalues[i]*v
    print i,'must be very low if column i of Z is eigenvector of A: ',np.linalg.norm(w,ord=None)/np.linalg.norm(v,ord=None)

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