c# - 用 3D 高斯拟合星光
问题描述
我有一张星图,比如说 15 x 15 像素。星光可以建模为 3D 高斯,这正是我想要做的。
我使用的函数是 f(x, y) = A·exp(-[(x-xc)^2/2σ^2+(y-yc)^2/2σ^2]) 其中:
- xc, yc 估计的星心坐标
- A (xc, yc) 处的像素值
我实现的算法是 Levenberg-Marquardt。
我被困在以下一点,在 LM 算法中——在每次迭代中——我需要计算一个向量,其中包含我的样本和 f(x,y) 之间的差异。
如果我使用像素位置(行,列)作为(x,y)计算高斯 f(x,y),那么它当然会在任何地方都是 0,除了 xc 和 yc 周围。这是不正确的。
我正在考虑进行归一化,让 x 和 y 在 0 和 1 之间变化(当然也归一化 xc 和 yc)。
这可能是一个好方法吗?
谢谢。干杯
解决方案
这是一个在curve_fit() 中使用Levenverg-Marquardt 的scipy 实现的图形3D 曲面拟合器示例,这个示例应该很容易适应您的需要。
import numpy, scipy, scipy.optimize
import matplotlib
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm # to colormap 3D surfaces from blue to red
import matplotlib.pyplot as plt
graphWidth = 800 # units are pixels
graphHeight = 600 # units are pixels
def func(data, a, b, c):
X = data[0]
Y = data[1]
return a*X + b*Y + c
def SurfacePlot(func, data, fittedParameters):
f = plt.figure(figsize=(graphWidth/100.0, graphHeight/100.0), dpi=100)
matplotlib.pyplot.grid(True)
axes = Axes3D(f)
x_data = data[0]
y_data = data[1]
z_data = data[2]
xModel = numpy.linspace(min(x_data), max(x_data), 20)
yModel = numpy.linspace(min(y_data), max(y_data), 20)
X, Y = numpy.meshgrid(xModel, yModel)
Z = func(numpy.array([X, Y]), *fittedParameters)
axes.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.coolwarm, linewidth=1, antialiased=True)
axes.scatter(x_data, y_data, z_data) # show data along with plotted surface
axes.set_title('Surface Plot (click-drag with mouse)') # add a title for surface plot
axes.set_xlabel('X Data') # X axis data label
axes.set_ylabel('Y Data') # Y axis data label
axes.set_zlabel('Z Data') # Z axis data label
plt.show()
plt.close('all') # clean up after using pyplot or else thaere can be memory and process problems
def ScatterPlot(data):
f = plt.figure(figsize=(graphWidth/100.0, graphHeight/100.0), dpi=100)
matplotlib.pyplot.grid(True)
axes = Axes3D(f)
x_data = data[0]
y_data = data[1]
z_data = data[2]
axes.scatter(x_data, y_data, z_data)
axes.set_title('Scatter Plot (click-drag with mouse)')
axes.set_xlabel('X Data')
axes.set_ylabel('Y Data')
axes.set_zlabel('Z Data')
plt.show()
plt.close('all') # clean up after using pyplot or else thaere can be memory and process problems
if __name__ == "__main__":
xData = numpy.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0])
yData = numpy.array([11.0, 12.1, 13.0, 14.1, 15.0, 16.1, 17.0, 18.1, 90.0])
zData = numpy.array([1.1, 2.2, 3.3, 4.4, 5.5, 6.6, 7.7, 8.0, 9.9])
data = [xData, yData, zData]
initialParameters = [1.0, 1.0, 1.0] # these are the same as scipy default values in this example
# here a non-linear surface fit is made with scipy's curve_fit()
fittedParameters, pcov = scipy.optimize.curve_fit(func, [xData, yData], zData, p0 = initialParameters)
ScatterPlot(data)
SurfacePlot(func, data, fittedParameters)
print('fitted prameters', fittedParameters)
modelPredictions = func(data, *fittedParameters)
absError = modelPredictions - zData
SE = numpy.square(absError) # squared errors
MSE = numpy.mean(SE) # mean squared errors
RMSE = numpy.sqrt(MSE) # Root Mean Squared Error, RMSE
Rsquared = 1.0 - (numpy.var(absError) / numpy.var(zData))
print('RMSE:', RMSE)
print('R-squared:', Rsquared)
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