algorithm - 计算大 O 表示法：2 个嵌套循环的 O(n^4) 和没有递归的 O(log n)

Question

自从我做了一些运行时复杂度近似练习以来已经有一段时间了，我一直在尝试围绕以下在线找到的示例（评论是我自己的）：

示例 1：

for ( int i = 1 ; i <= n ; i++) { //n
  for ( int j = 1; j <= i*i ; j++) { // 1+2^2+3^2+...+n^2
    if ( j % i == 0) {
      for ( int k = 0 ; k < j ; k++ ){ // 1+2^2+3^2+...+n^2
        sum++;
       }
      }
     }
    }

解决方案表说它是 O(n^4)，但我看不到它。我确定我错过了一些东西，因为在我的评论中我计算出在最坏的情况下它是 O(n^5)。

示例 2：

i = 1 ;
L2 = -1;
while ( i <= n ) {
  i = i*2 ; // 2 + 2^2 + 2^3+ ...+ 2^n
  L2++;
}

提到的解决方案是 O(log n)。我认为在最坏的情况下，我会得到 2^n <= n 的结果，因此 n <= log n。在这里应用上界函数的典型定义更直观（即 f(n) <= O(g(x)) ）

我基本上想知道我错过了什么，以及我应该经历哪些步骤/指南来为这两种情况（尤其是第一个示例）找到正确的大 O 复杂性。对于任何不清楚的细节，我深表歉意，我很乐意添加更多说明。在此先感谢，我感谢任何见解！

标签： algorithmtime-complexitybig-ocomplexity-theory

Answer 1

示例 1 是O(n^5)因为 big-O 是一个上限。也是Theta(n^4)因为 if 语句让最里面的循环每次i迭代都只运行一次，所以运行时间是Theta(n sum_{i=1}^n (i*i * 1/i * i*i)) = Theta(n^4).

示例 2 是O(log n). 在第jth 次迭代中，i是2^j，并且阈值2^j > n是j > lg n。