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machine-learning - pytorch 如何通过 argmax 反向传播？

问题描述

我在 pytorch 中使用质心位置的梯度下降而不是期望最大化来构建 Kmeans。损失是每个点到其最近质心的平方距离之和。为了确定离每个点最近的质心，我使用了 argmin，它在任何地方都不可微。然而，pytorch 仍然能够反向传播和更新权重（质心位置），在数据上提供与 sklearn kmeans 相似的性能。

任何想法这是如何工作的，或者我如何在 pytorch 中解决这个问题？关于 pytorch github 的讨论表明 argmax 不可区分：https ://github.com/pytorch/pytorch/issues/1339 。

下面的示例代码（在随机点上）：

import numpy as np
import torch

num_pts, batch_size, n_dims, num_clusters, lr = 1000, 100, 200, 20, 1e-5

# generate random points
vector = torch.from_numpy(np.random.rand(num_pts, n_dims)).float()

# randomly pick starting centroids
idx = np.random.choice(num_pts, size=num_clusters)
kmean_centroids = vector[idx][:,None,:] # [num_clusters,1,n_dims]
kmean_centroids = torch.tensor(kmean_centroids, requires_grad=True)

for t in range(4001):
    # get batch
    idx = np.random.choice(num_pts, size=batch_size)
    vector_batch = vector[idx]

    distances = vector_batch - kmean_centroids # [num_clusters, #pts, #dims]
    distances = torch.sum(distances**2, dim=2) # [num_clusters, #pts]

    # argmin
    membership = torch.min(distances, 0)[1] # [#pts]

    # cluster distances
    cluster_loss = 0
    for i in range(num_clusters):
        subset = torch.transpose(distances,0,1)[membership==i]
        if len(subset)!=0: # to prevent NaN
            cluster_loss += torch.sum(subset[:,i])

    cluster_loss.backward()
    print(cluster_loss.item())

    with torch.no_grad():
        kmean_centroids -= lr * kmean_centroids.grad
        kmean_centroids.grad.zero_()

标签： machine-learningcluster-analysispytorchk-meansbackpropagation

解决方案

正如 alvas 在评论中指出的那样，argmax是不可区分的。然而，一旦你计算它并将每个数据点分配给一个集群，损失相对于这些集群位置的导数是明确定义的。这就是你的算法所做的。

为什么它有效？如果您只有一个集群（因此argmax操作无关紧要），您的损失函数将是二次的，最小值位于数据点的平均值处。现在有多个集群，您可以看到您的损失函数是分段的（在更高维度上考虑体积）二次 - 对于任何一组质心，[C1, C2, C3, ...]每个数据点都分配给某个质心CN，并且损失是局部二次的。该局部性的范围由所有替代质心给出，[C1', C2', C3', ...]对于这些质心，分配来自argmax保持不变；在这个区域内，argmax可以被视为一个常数，而不是一个函数，因此 的导数loss是明确定义的。

现在，实际上，您不太可能将argmax其视为常数，但您仍然可以将天真的“argmax-is-a-constant”导数视为大致指向最小值，因为大多数数据点可能确实属于迭代之间的相同集群。一旦你足够接近一个局部最小值，使得这些点不再改变它们的分配，这个过程就可以收敛到最小值。

另一种更具理论性的看待它的方法是你正在做一个期望最大化的近似值。通常，您将有“计算分配”步骤（由 镜像argmax）和“最小化”步骤，归结为在给定当前分配的情况下找到最小化集群中心。最小值由 给出d(loss)/d([C1, C2, ...]) == 0，对于二次损失，它是通过每个集群内的数据点分析给出的。在您的实现中，您正在求解相同的方程，但使用梯度下降步骤。事实上，如果您使用二阶（牛顿）更新方案而不是一阶梯度下降，您将隐含地精确复制基线 EM 方案。

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