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python - 有限制的长度为 L 的子序列的最大和

问题描述

给定一个正整数数组。如何找到一个长度L为max总和的子序列，其任意两个相邻元素之间的距离不超过K

我有以下解决方案，但不知道如何考虑长度 L。

1 <= N <= 100000, 1 <= L <= 200, 1 <= K <= N

f[i] 包含以 i 结尾的子序列的最大总和。

for i in range(K, N)
    f[i] = INT_MIN
    for j in range(1, K+1)
        f[i] = max(f[i], f[i-j] + a[i])
return max(f)

标签： pythonalgorithmdynamic-programming

解决方案

（编辑：稍微简化的非递归解决方案）

您可以这样做，只是为每次迭代考虑是否应包含或排除该项目。

def f(maxK,K, N, L, S):
    if L == 0 or not N or K == 0:
        return S
    #either element is included
    included = f(maxK,maxK, N[1:], L-1, S + N[0]  )
    #or excluded
    excluded = f(maxK,K-1, N[1:], L, S )
    return max(included, excluded)


assert f(2,2,[10,1,1,1,1,10],3,0) == 12
assert f(3,3,[8, 3, 7, 6, 2, 1, 9, 2, 5, 4],4,0) == 30

如果 N 很长，您可以考虑更改为表格版本，也可以将输入更改为元组并使用记忆化。

由于 OP 后来包含了 N 可以是 100 000 的信息，所以我们不能真正使用这样的递归解决方案。所以这是一个在 O(n K L) 中运行的解决方案，具有相同的内存要求：

import numpy as np

def f(n,K,L):
    t = np.zeros((len(n),L+1))

    for l in range(1,L+1):
        for i in range(len(n)):
            t[i,l] = n[i] + max( (t[i-k,l-1] for k in range(1,K+1) if i-k >= 0), default = 0 )

    return np.max(t)


assert f([10,1,1,1,1,10],2,3) == 12
assert f([8, 3, 7, 6, 2, 1, 9],3,4) == 30

非递归解决方案的解释。表 t[ i, l ] 中的每个单元格表示最大子序列的值，其中恰好有 l 个元素使用位置 i 中的元素，并且只有位置 i 或更低位置的元素，其中元素之间的距离最多为 K。

长度为 n 的子序列（t[i,1] 中的子序列必须只有一个元素 n[i] ）

较长的子序列有 n[i] + 一个由 l-1 个元素组成的子序列，最多从前 k 行开始，我们选择具有最大值的那个。通过这种方式迭代，我们确保这个值已经被计算出来。

考虑到您只查看最多 K 步，可以进一步改进内存。

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