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python - 如何避免具有多列的 numpy-arrays 的总和不太精确

问题描述

我一直认为numpy 使用一种pairwise-summationfloat32 ，这也确保了- 操作的高精度：

import numpy as np
N=17*10**6  # float32-precision no longer enough to hold the whole sum
print(np.ones((N,1),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [17000000.], kind of expected

但是，如果矩阵具有多于一列，则看起来好像使用了不同的算法：

print(np.ones((N,2),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [16777216. 16777216.] the error is just to big
print(np.ones((2*N,2),dtype=np.float32).sum(axis=0))
# [16777216. 16777216.] error is bigger

可能sum只是天真地总结所有值。一个迹象是16777216.f+1.0f=16777216.f，例如：

one = np.array([1.], np.float32)
print(np.array([16777215.], np.float32)+one)  # 16777216.
print(np.array([16777216.], np.float32)+one)  # 16777216. as well

为什么 numpy 不对多列使用成对求和，并且 numpy 也可以强制对多列使用成对求和？

我的 numpy 版本是 1.14.2，如果这起作用的话。

标签： pythonnumpyfloating-accuracyieee-754

解决方案

这种行为是由于 numpy 在减少操作期间访问内存的方式（“添加”只是一种特殊情况）以提高缓存的利用率。

对于某些情况（如上所述），可以强制执行成对求和而不会对性能产生很大影响。但总的来说，强制执行它会导致巨大的性能损失——在大多数情况下，使用双精度可能会更容易缓解上述问题。

成对求和可以看作是对“加法”操作的一种非常具体的优化，如果满足某些约束（稍后会详细介绍），就会执行此操作。

求和（和许多其他减少操作）受内存带宽限制。如果我们沿着一个连续的轴求和，生活是美好的：为索引提取到缓存中的内存i将直接用于计算 index i+1, i+2,... 而不会在使用之前从缓存中逐出。

情况不同，当求和不是沿着连续轴时：添加一个 float32 元素 16-float32 被提取到缓存中，但其中 15 个在它们可以使用之前被驱逐，并且必须再次提取 - 什么浪费。

这就是为什么 numpy 在这种情况下按行求和的原因：对第一行和第二行求和，然后将第三行添加到结果中，然后是第四行，依此类推。但是，成对求和仅用于一维求和，不能在此处使用。

在以下情况下执行成对求和：

  • sum在一维 numpy 数组上调用
  • sum沿连续轴调用

numpy 没有（还没有？）提供一种方法来强制执行成对求和而不会对性能产生重大负面影响。

我从中得出的结论是：目标应该是沿连续轴执行求和，这不仅更精确，而且可能更快：

A=np.ones((N,2), dtype=np.float32, order="C") #non-contiguous
%timeit A.sum(axis=0)
# 326 ms ± 9.17 ms

B=np.ones((N,2), dtype=np.float32, order="F") # contiguous
%timeit B.sum(axis=0)
# 15.6 ms ± 898 µs

在这种特殊情况下，一行中只有 2 个元素，开销太大（另请参阅此处解释的类似行为）。

它可以做得更好，例如通过仍然不精确einsum：

%timeit np.einsum("i...->...", A)
# 74.5 ms ± 1.47 ms 
np.einsum("i...->...", A)
# array([16777216.,  16777216.], dtype=float32)

甚至：

%timeit np.array([A[:,0].sum(), A[:,1].sum()], dtype=np.float32)
# 17.8 ms ± 333 µs 
np.array([A[:,0].sum(), A[:,1].sum()], dtype=np.float32)
# array([17000000., 17000000.], dtype=float32)

这不仅几乎与连续版本一样快（两次加载内存的惩罚不如加载内存 16 次高），而且非常精确，因为sum它用于一维 numpy 数组。

对于更多列，对于 numpy 和 einsum 方式，与连续大小写的差异要小得多：

B=np.ones((N,16), dtype=np.float32, order="F")
%timeit B.sum(axis=0)
# 121 ms ± 3.66 ms 

A=np.ones((N,16), dtype=np.float32, order="C")
%timeit A.sum(axis=0)
# 457 ms ± 12.1 ms 

%timeit np.einsum("i...->...", A)
# 139 ms ± 651 µs per loop

但是“精确”技巧的性能非常糟糕，可能是因为延迟不能再被计算隐藏：

def do(A):
    N=A.shape[1]
    res=np.zeros(N, dtype=np.float32)
    for i in range(N):
        res[i]=A[:,i].sum()
    return res
%timeit do(A)
# 1.39 s ± 47.8 ms

以下是 numpy 实现的血腥细节。

可以从这里FLOAT_add的with 定义的代码中看到差异：

#define IS_BINARY_REDUCE ((args[0] == args[2])\
    && (steps[0] == steps[2])\
    && (steps[0] == 0))

#define BINARY_REDUCE_LOOP(TYPE)\
   char *iop1 = args[0]; \
   TYPE io1 = *(TYPE *)iop1; \

/** (ip1, ip2) -> (op1) */
#define BINARY_LOOP\
    char *ip1 = args[0], *ip2 = args[1], *op1 = args[2];\
    npy_intp is1 = steps[0], is2 = steps[1], os1 = steps[2];\
    npy_intp n = dimensions[0];\
    npy_intp i;\
    for(i = 0; i < n; i++, ip1 += is1, ip2 += is2, op1 += os1)

/**begin repeat
* Float types
*  #type = npy_float, npy_double, npy_longdouble#
*  #TYPE = FLOAT, DOUBLE, LONGDOUBLE#
*  #c = f, , l#
*  #C = F, , L#
*/

/**begin repeat1
 * Arithmetic
 * # kind = add, subtract, multiply, divide#
 * # OP = +, -, *, /#
 * # PW = 1, 0, 0, 0#
 */
NPY_NO_EXPORT void
@TYPE@_@kind@(char **args, npy_intp *dimensions, npy_intp *steps, void *NPY_UNUSED(func))
{
    if (IS_BINARY_REDUCE) {
#if @PW@
        @type@ * iop1 = (@type@ *)args[0];
        npy_intp n = dimensions[0];

        *iop1 @OP@= pairwise_sum_@TYPE@(args[1], n, steps[1]);
#else
        BINARY_REDUCE_LOOP(@type@) {
            io1 @OP@= *(@type@ *)ip2;
        }
        *((@type@ *)iop1) = io1;
#endif
    }
    else if (!run_binary_simd_@kind@_@TYPE@(args, dimensions, steps)) {
        BINARY_LOOP {
            const @type@ in1 = *(@type@ *)ip1;
            const @type@ in2 = *(@type@ *)ip2;
            *((@type@ *)op1) = in1 @OP@ in2;
        }
    }
}

一旦生成如下所示：

NPY_NO_EXPORT void
FLOAT_add(char **args, npy_intp *dimensions, npy_intp *steps, void *NPY_UNUSED(func))
{
    if (IS_BINARY_REDUCE) {
#if 1
        npy_float * iop1 = (npy_float *)args[0];
        npy_intp n = dimensions[0];

        *iop1 += pairwise_sum_FLOAT((npy_float *)args[1], n,
                                        steps[1] / (npy_intp)sizeof(npy_float));
#else
        BINARY_REDUCE_LOOP(npy_float) {
            io1 += *(npy_float *)ip2;
        }
        *((npy_float *)iop1) = io1;
#endif
    }
    else if (!run_binary_simd_add_FLOAT(args, dimensions, steps)) {
        BINARY_LOOP {
            const npy_float in1 = *(npy_float *)ip1;
            const npy_float in2 = *(npy_float *)ip2;
            *((npy_float *)op1) = in1 + in2;
        }
    }
}

FLOAT_add可用于一维减少，在这种情况下：

  • args[0]是指向结果/初始值的指针（与 相同args[2]）
  • args[1]是输入数组
  • steps[0]和steps[2]are 0，即指针指向标量。

然后可以使用成对求和（检查IS_BINARY_REDUCE）。

FLOAT_add可用于添加两个向量，在这种情况下：

  • args[0]第一个输入数组
  • args[1]第二个输入数组
  • args[2]输出数组
  • steps- 对于上述数组，从一个元素到另一个元素。

参数@PW@仅1用于求和 - 对于所有其他操作，不使用成对求和。

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