r - 构建从 0 到 T 的布朗桥

Question

我正在尝试从维纳过程中模拟布朗桥，但在代码中挣扎。

这是我试图以数学形式做的事情：

B(t) = W (t) − tW (1)

重要的是，W(T) = 0，以便过程在 t=0 和 t=T 处都固定在原点（应该以 B(t)=B(T)= 0 开始和结束

这里我定义维纳过程：

n <- 1000 
T <- 1 
delta <- T/n 
t <- seq(0,T, delta) 
set.seed(17) 
W1 <- cumsum(c(0,rnorm(n, 0, 1) * sqrt(delta))) 
plot(t, W1 ,type = 'l',
     xlab = 't', ylab = 'W(t)', xlim = c(0, T + delta))

在这里，我正在尝试构建布朗桥，但得到错误的结果：

B <- W1 - t * W1[T]   # The Brownian bridge from (0,0) to (1,target)
plot(times, B, type="l")

我希望B[1] == B[1001]是 [TRUE] 并且等于 0，但在我的情况下 B[1001] 不等于 0。

有什么建议么？

标签： r

Answer 1

只有一个问题 - 在B. 相反，你想要

B <- W1 - t * W1[n + 1]

因为索引n + 1（即选择对应于 t = 1 的最后一个元素）指的W1是向量而不是过程。那么确实

B[1]
# [1] 0
B[1001]
# [1] 0

正如预期的那样。还要注意，虽然不建议使用t和T作为变量名，因为它们都已经扮演了重要的角色；见?t和?T。