matlab - 计算匿名函数的二阶导数

Question

我想在 Matlab 中计算匿名函数的二阶导数。我已经知道一些公式（数值微分），但它们似乎不起作用。

我可以计算一阶导数：

f = @(x) (x^3);
h = 1e-10;

df = @(x) (f(x+h) - f(x))/h;

但是当我尝试使用以下方法计算二阶导数时，我没有得到预期的结果：

f = @(x) (x^3);
h = 1e-10;

d2f = @(x) (f(x+h) - 2*f(x) + f(x-h))/(h^2);

对于 d2f，我应该得到一个类似于 d2f = 6x 的函数，但是如果绘制 d2f，我会得到这个： plot d2f

我做错了什么？

标签： matlabnumerical-methodsdifferentiation

Answer 1

分差公式的理论误差为O(h^2)。函数的浮点计算将各自产生一个机器精度μ左右的相对误差。然后除以 h^2。两个误差的最佳总和是在它们达到平衡的地方，即 h^4=mu 或 h=1e-4 的地方。

如果作为 f 的四阶导数的误差项的系数为零，这当然是无效的，因为它发生在 f(x)=x^3 时。那么唯一的误差贡献是浮点误差，对于较大的 h 最小，即使 h=1 也会产生最小的误差。

对于像 f(x)=sin(x) 这样不那么简单的函数，不同 h 的误差表现如下图所示（其中标记为 x 的变量是步长 h）