scala - 了解产品和副产品的图表

Question

我试图理解Product和Coproduct对应于下图：

产品：

副产品：

据我了解，ProductHaskell 中的一个类型例如是：

data Pair = P Int Double

一个Sum类型是：

data Pair = I Int | D Double 

如何理解与Sum类型相关的图像Product？

图片来自http://blog.higher-order.com/blog/2014/03/19/monoid-morphisms-products-coproducts/。

标签： scalahaskelltuplescategory-theoryeither

Answer 1

据我所知，这些图表背后的想法是给你：

• 类型A，B和Z
• 指定类型的函数f和g（在第一个图中，f :: Z -> A和g :: Z -> B，在第二个图中，箭头指向“另一种方式”，所以f :: A -> Z和g :: B -> Z）。

我现在将专注于第一个图表，这样我就不必把每件事都说两遍了。

无论如何，考虑到上述情况，我们的想法是有一种类型M以及函数fst :: M -> A,snd :: M -> B和h :: Z -> M这样的，正如数学家所说，图表“通勤”。这只是意味着，给定图中的任意两点，如果您以任何方式从一个到另一个的箭头，则结果函数是相同的。即，f是相同的 fst . h，g是相同的snd . h

很容易看出，不管是什么Z，pair type (A, B)，连同通常的 Haskell 函数fst和snd，都满足了这一点——再加上适当的 选择h，即：

h z = (f z, g z)

它简单地满足了图表通勤所需的两个身份。

这是对图表的基本解释。但是你可能Z对这一切中的角色有点困惑。之所以出现这种情况，是因为实际陈述的内容相当强大。就是，给定A、和B，有一个与函数和，您可以为任何类型构建这样的图（这意味着也提供一个函数）。此外，只有一个函数可以满足所需的属性。fgMfstsndZh :: Z -> Mh

很明显，一旦您使用它并理解了各种要求，pair(A, B)以及与其同构的各种其他类型（这基本上意味着MyPair A B您定义的位置data MyPair a b = MyPair a b）是唯一满足这一点的东西。还有其他类型M也可以工作，但会给出各种不同h的 s - 例如。采取M三元组(A, B, Int)，fst并snd提取（数学术语中的“投影到”）第一个和第二个组件，然后对于您想命名h z = (f z, g z, x)的任何人来说都是这样的函数。x :: Int

我学习数学，特别是范畴论已经太久了，无法证明这对(A, B)是唯一满足我们正在谈论的“普遍属性”的类型 - 但请放心，它是，你真的为了能够在 Haskell 中使用 product 和 sum 类型进行编程，不需要了解这一点（或实际上任何一点）。

第二张图大致相同，但所有箭头都颠倒了。M在这种情况下，A和的“副产品”或“总和”B结果是Either a b（或与之等量的东西），h :: M -> Z并将被定义为：

h (Left a) = f a
h (Right b) = g b