python - 从一个矩阵定义一个对角矩阵，其中包含子对角线的乘积

Question

我如何从矩阵 A 构造对角矩阵 D 其中：

• 对角矩阵 D 的第一个元素必须是矩阵 A 的下对角线中所有元素的乘积
• 对角矩阵 D 中的第二个元素必须是矩阵 A 的下对角线中除第一个元素之外的所有元素的乘积
• 对角矩阵 D 中的第三个元素必须是矩阵 A 的下对角线中除第一个和第二个元素之外的所有元素的乘积
• ...并且对角矩阵 D 的最后一个元素必须是 1

标签： pythonnumpy

Answer 1

这是一种方法：

def subdiag_prod_(a):
    sub_diag = np.diagonal(a, offset=-1)
    mask = np.triu(np.ones((sub_diag.shape*2))).astype('bool')
    m = sub_diag[:,None].T * mask
    ma = np.ma.array(sub_diag[:,None].T * mask, mask=~mask)
    diag = np.prod(ma, axis=1).data
    out = np.diag(diag)
    last_row = np.zeros([out.shape[0]+1]*2)
    last_row[:out.shape[0], :out.shape[1]] += out
    return last_row

---

a = np.random.randint(1,5,(10,10))

array([[2, 2, 1, 4, 3, 1, 3, 1, 4, 4],
       [2, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 2],
       [4, 2, 2, 4, 2, 1, 3, 3, 3, 4],
       [2, 3, 3, 1, 1, 1, 4, 2, 3, 4],
       [3, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 4, 4, 3],
       [1, 4, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4],
       [4, 2, 3, 2, 1, 4, 4, 1, 3, 2],
       [4, 2, 2, 4, 4, 4, 1, 4, 3, 1],
       [1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 1],
       [1, 3, 2, 2, 3, 4, 1, 3, 2, 1]])

subdiag_prod(a)

array([[288.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.],
       [  0., 144.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.],
       [  0.,   0.,  72.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.],
       [  0.,   0.,   0.,  24.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.],
       [  0.,   0.,   0.,   0.,  24.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.],
       [  0.,   0.,   0.,   0.,   0.,  24.,   0.,   0.,   0.,   0.],
       [  0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   6.,   0.,   0.,   0.],
       [  0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   6.,   0.,   0.],
       [  0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   2.,   0.],
       [  0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   0.,   1.]])

---

细节

第一步是采用 ndarray 的对角线np.diagonal：

sub_diag = np.diagonal(a, offset=-1)
# array([2, 2, 3, 1, 1, 4, 1, 3, 2])

mask我们可以通过 using创建一个np.tril，然后我们可以使用它以指定的方式获取子对角元素的乘积：

mask = np.triu(np.ones((sub_diag.shape*2))).astype('bool')

现在我们可以ndarray通过将掩码和次对角线相乘来创建一个掩码数组，使用上面的掩码：

mask = np.ma.array(sub_diag[:,None].T * mask, mask=~mask)

现在我们可以获取掩码数组的逐行乘积：

d = np.prod(ma, axis=1).data
# array([288, 144,  72,  24,  24,  24,   6,   6,   2])

然后简单地从中构建一个对角矩阵：

out = np.diag(d)
last_row = np.zeros([out.shape[0]+1]*2)
last_row[:out.shape[0], :out.shape[1]] += out