matlab - 使用 Matlab 或 Matlab 符号工具查找约束边界变量的函数的最大值？

Question

我目前正在求解方程，我需要找到函数的最大值。

方程是

v = sqrt(u^2+2*a*s); 

在哪里0.1 <= a <= 1.5和

u = 2.75;
s = 3.194;

我必须求解一系列方程，其中每次我都有一个变量不等式。我想找出 的最大值v和对应的值a。

标签： matlabmathematical-optimizationsymbolic-mathequation-solving

Answer 1

方法 1：数值（但幼稚）
这种方法使用带有矢量化的匿名函数v，数值计算可能的范围，a步长（精度 in a）为 0.01。

根据所需的精度，可以简单地减少stepsize直到答案在公差范围内收敛（停止变化）。

% MATLAB R2017a    
u = 2.75;
s = 3.194;
fh =@(a) sqrt(u.^2 + 2.*a.*s);

aLB = 0.1;
aUB = 1.5;
stepsize = 0.01;       % Reduce until your answer converges (stops changing)
a = aLB:stepsize:aUB;

v = fh(a);
[v_max, ind] = max(v)      % v_max = 4.1406
a(ind)                     % a(ind) = 1.5000

方法 2：数值
该方法使用线性惩罚将约束添加aLB <= a <= aUB到目标函数中，以使用 进行数值优化fminsearch。请注意，这fminsearch需要初始猜测，a并且必须对目标函数进行矢量化。

当目标函数是凸的（超过a）时，这很有效。如果目标函数不是凸的，那么一种方法是从不同的起点多次执行此操作，然后将最佳答案作为“迄今为止找到的最佳答案”。

由于我们在这里最大化并且fminsearch仅最小化，因此我们引入负号并最小化。至于惩罚函数，我们可以将其设为二次函数或增加权重，但我们知道其可行范围a使得这些方法在这里没有必要。

f2h =@(a) -fh(a) + abs(a-aLB).*(a < aLB) + abs(a-aUB).*(a > aUB);
[a_best, v_max_neg] = fminsearch(f2h,1)
v_max = -vmax_neg

您可以通过检查看到目标函数是凹的（尽管二阶导数也会显示这一点）。所以否定它会给出一个凸函数，这意味着返回的局部解决方案（最佳）fminsearch也将是全局解决方案。