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matlab - 求解巨大的稀疏线性系统，其中 A 是 kron 乘积的结果

问题描述

如何(A ⊗ B + C ⊗ D) x = b在不计算相乘的实际矩阵的情况下求解 MATLAB中的线性系统x（⊗ 表示克罗内克积）。尽管A, B,C和D是sparse矩阵，但幼稚的方法，

x = (kron(A,B) + kron(C,D))\b

不适合内存并导致 MATLAB 对于大型矩阵（每个矩阵约 1000 x 1000 个元素）崩溃。

关于这个还能做什么？

标签： matlabsparse-matrixlazy-evaluationtensorequation-solving

解决方案

看到您的矩阵通常非常稀疏，张量积的最终结果不应该占用那么多内存。这是由于中间计算的巨大内存需求而根本无法完成矢量化的情况之一，但它可能使用循环（和部分矢量化）。

请注意，这是一种“总比没有好，但不是很多”的解决方案。

我将使用ndSparsesubmit，因为它可以更轻松地处理稀疏矩阵。

% Create some matrices
[A,B] = deal(sparse(1000,1000));
A(randperm(1000^2, 10000)) = randn(1E4, 1);
B(randperm(1000^2, 10000)) = randn(1E4, 1);
A = ndSparse(A); B = ndSparse(B);

% Kronecker tensor product, copied from kron.m
[ma,na] = size(A);
[mb,nb] = size(B);
A = reshape(A,[1 ma 1 na]);
B = reshape(B,[mb 1 nb 1]);
% K = reshape(A.*B,[ma*mb na*nb]);                    % This fails, too much memory.
K = ndSparse(sparse(mb*ma*nb*na,1),[mb, ma, nb, na]); % This works

从这里可以根据可用内存继续：

% If there's plenty of memory (2D x 1D -> 3D):
for ind1 = 1:mb
  K(ind1,:,:,:) = bsxfun(@times, A, B(ind1, :, :, :));
end

% If there's less memory (1D x 1D -> 2D):
for ind1 = 1:mb
  for ind2 = 1:ma
    K(ind1,ind2,:,:) = bsxfun(@times, A(:, ind2, :, :), B(ind1, :, :, :));
  end
end

% If there's even less memory (1D x 0D -> 1D):
for ind1 = 1:mb
  for ind2 = 1:ma
    for ind3 = 1:nb
      K(ind1,ind2,ind3,:) = bsxfun(@times, A(:, ind2, :, :), B(ind1, :, ind3, :));
    end
  end
end

% If there's absolutely no memory (0D x 0D  -> 0D):
for ind1 = 1:mb
  for ind2 = 1:ma
    for ind3 = 1:nb
      for ind4 = 1:na
        K(ind1,ind2,ind3,ind4) = A(:, ind2, :, ind4) .* B(ind1, :, ind3, :);
      end
    end
  end
end

K = sparse(reshape(K,[ma*mb na*nb])); % Final touch

所以这只是如何最终执行计算的理论演示，但不幸的是它非常低效，因为它必须一遍又一遍地调用类方法，而且它也不能保证有足够的内存来评估\运算符.

改善这一点的一种可能方法是以matlab.internal.sparse.kronSparse某种块方式调用并将中间结果存储在输出数组的正确位置，但这需要仔细考虑。

顺便说一句，我尝试使用 Ander 提到的 FEX 提交（KronProd），但是当您需要计算时它没有任何好处kron(A,B) + kron(C,D)（尽管它在某些情况下非常棒kron(A,B)\b）。

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