floating-point - 究竟如何定点比浮点更准确

Question

我（认为）我理解二进制小数的定点和浮点表示。但是，我经常看到定点被描述为更精确且范围更小，而浮点被描述为更不准确且范围更大。现在，如果我理解正确，浮点数的不准确性源于它不能表示 0.1 以及许多其他实数 = 我认为定点有同样的问题，那么它如何被描述为更“准确”。如果我没记错的话，冯诺依曼似乎也支持这个想法，并说我们不应该使用浮点数而是固定的，但是为什么？

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Answer 1

当使用 32 位进行浮点表示时，它们通常被划分为 1 位用于编码符号，8 位用于编码指数，以及 23 位用于有效数的主要编码。由于对指数的一些特殊处理，完整有效数有 24 位。在这种格式中，浮点数的分辨率是 2 ²³的 1 部分，在某种意义上，改变低位会使表示的值改变高位值的 2 ^-23倍。

当使用 32 位进行定点表示时，高位通常用于表示符号，因此最高值位次之，它表示低位值的2 ^30倍。因此，使用这种格式，定点数的分辨率是 2 ³⁰中的 1 部分。

因此，使用相同的位数，定点比浮点具有更高的分辨率。即使有其他选择用于哪些部分使用多少位，浮点需要使用一些位作为指数，而定点使用零，因此定点总是比浮点具有更精细的分辨率。

浮点提供动态范围，这意味着它可以通过改变指数作为计算的一部分来处理大数或小数。定点只有静态范围——它可以表示大数或小数，但您必须在设计代码时选择范围。（在某种程度上，这可以被巧妙地处理，例如通过为输入值选择一个小范围，然后随着值相加而增加范围以形成越来越大的总和或其他结果。但是，每个特定计算的比例必须在设计时选择。）如果您需要更高的分辨率并且不需要动态范围，则使用定点。如果您需要动态范围并且不需要更高的分辨率，则使用浮点。如果两者都需要，请使用更多位。

请注意，固定比例意味着定点有时会不如浮点准确。浮点调整其比例以将前导数字移动到高位，直到其指数范围的限制。因此，它以上述格式将分辨率保持在 1 比 2 ^23左右。但是固定点与设计时选择的比例有关。如果它需要表示一个大小落在定点格式的第 2 位的数字，那么它对该数字的分辨率仅为 2 ²中的 1 左右。