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algorithm - 计算 1 和 N（含）之间的数字，其中设置了第 i 位

问题描述

我想计算 1 和N之间有多少整数设置了第i位。例如，如果N  = 10 且i  = 0，则结​​果应为 5（因为 1 = 0001 2、3 = 0011 2、5 = 0101 2、7 = 0111 2和 9 = 1001 2在位 0）。

简单的线性时间解决方案是从 1 迭代到N，并且对于每个数字，查看它是否设置了第i个位。

更好的方法是，因为对于 2 的已知幂（例如 2 x），2 x -1个数字的第i位将设置为数字 2 x  - 1，其中 0 ≤ i < x . 因此，从 ( N  − 2 x ) 开始计算具有第i位集合的所有数字，其中N是直到我们试图找到所有具有第i位集合的数字的数字，并且 2 x是 2 的最接近的幂对于数字N。这种方法减少了迭代次数，但仍然是一种线性时间解决方案，并且在某些情况下对于更大的数字可能非常无用。

有恒定时间的解决方案吗？

标签： algorithmbit-manipulationbitmask

解决方案

我们先来看一个例子。如果我们设置n=10，然后我们看第二位，那么k=1从右边，我们看到：

0000    0
0001    0
0010    1
0011    2
0100    2
0101    2
0110    3
0111    4
----
1000    4
1001    4
1010    5

我们在这里看到第k位有⌊N/2 k+1 ⌋完整的往返行程，并且每次这样的往返行程都会产生2 k位设置。我们在水平条之前对这些条目进行了分组。

此外，水平条下方仍有N + 1 - 2 k+1 ×⌊N/2 k+1 ⌋条目。我们肯定知道这小于2 k，否则⌊N/2 k ⌋会高一倍。前2 k-1个条目具有选定位，而其余位（最多2 k-1个条目）具有选定位。01

因此，我们可以在 Haskell 中构造以下算法：

countBit k n = c1 +  max 0 (n + 1 - c0 - sk)
    where sk = shiftL 1 k
          c1 = shiftL (shiftR n (k+1)) k
          c0 = shiftL c1 1

例如k=1，我们获得以下计数：

Prelude Data.Bits> map (countBit 0) [0..32]
[0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16,16]
Prelude Data.Bits> map (countBit 1) [0..32]
[0,0,1,2,2,2,3,4,4,4,5,6,6,6,7,8,8,8,9,10,10,10,11,12,12,12,13,14,14,14,15,16,16]
Prelude Data.Bits> map (countBit 2) [0..32]
[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4,4,5,6,7,8,8,8,8,8,9,10,11,12,12,12,12,12,13,14,15,16,16]
Prelude Data.Bits> map (countBit 3) [0..32]
[0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16]
Prelude Data.Bits> map (countBit 4) [0..32]
[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16]

所以对于n=10和k=1，我们得到预期：

Prelude Data.Bits> countBit 0 10
5
Prelude Data.Bits> countBit 1 10
5

k=3或者我们可以使用从0到12345（含）的数字列计算设置位的数量：

Prelude Data.Bits> countBit 3 12345
6170

或为k=15和n=12'345'678'901'234'567'890

Prelude Data.Bits> countBit 15 12345678901234567890
6172839450617282560

和n=123'456'789'012'345'678'901'234'567'890：

Prelude Data.Bits> countBit 15 123456789012345678901234567890
61728394506172839450617282560

我们在这里执行一些位移和减法，对于大数，这些可以在O(log N)时间内完成（N是上限的值）。

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