floating-point - 如果浮点数有时可能不准确，程序员为什么还要使用它们呢？

Question

如果浮点数有时可能不准确，为什么它们存在？什么情况下有人想使用浮点数？

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（首先，请注意浮点数是精确的。它是近似实数算术的浮点算术。这种区别对于设计好的浮点软件和编写关于它的证明很重要。）

人们使用浮点运算是因为它对于处理不同大小的数字很有用。考虑使用浮点来设计和建造建筑物或其他结构。当设计者指定10米长的梁或电缆时，实际交付的电缆不会是10米长。如果您测量它并将结果转换为 32 位float¹，则转换可能会引入误差，误差小于 1 微米。你对电缆的测量会有更多的误差。所以浮点误差很小，在这个简单的测量中并不重要。

当完成许多计算时，这些舍入误差不仅会累积，而且会以令人惊讶的方式组合起来。如果float还不够，我们可以使用double，其中 10 米左右的测量的初始误差将低于 2 飞米（10 ^-15米）。

因此，浮点对于正常的物理用途具有足够的精度：测量和设计对象、处理音频或无线电信号、评估物理或化学的假设等等。当浮点使用得当时，浮点算术中的表示误差和舍入误差根本无关紧要。它们太小而无法注意到；它们对正在完成的工作没有明显的影响。

当新手习惯于大多数整数运算的僵化并且对浮点的行为感到惊讶时，就会出现使用浮点的问题。尽管错误可能是 9•10 ¹⁵的一部分，但如果这意味着结果是 6.99999999999999911182158029987476766109466552734375 而不是转换为 的数字中的 7 int，那么他们会得到错误的结果并且不明白他们的程序是如何出错的。大多数情况下，这个错误出现在学生和 Stack Overflow 问题作者之间，并且在实践中不是问题，当学习了浮点算术基础的人使用浮点代码时。

问题也出现了，因为如上所述，错误可以以令人惊讶的方式组合。例如，矩阵运算可能是“不稳定的”，这意味着它们往往会放大错误。因此，尽管浮点格式可能具有足够的精度，但由于数据和操作的数学特性，结果可能会产生很大的误差（与实数算术相比）。

尽管如此，浮点对于一些使用整数运算会成为负担的工作非常有用。当数字大小不同时，很难编写处理它们的整数算术。缩放要么必须提前设计（这限制了程序可以使用的数据），要么必须由程序管理，这本质上是对浮点的再发明。

脚注

¹ IEEE-754 基本 32 位二进制浮点，它有一个符号、一个 8 位指数和一个 24 位有效数。

² IEEE-754 基本 64 位二进制浮点，它有一个符号、一个 11 位指数和一个 53 位有效数。