geometry - 用螺旋形曲线覆盖任何表面

Question

我对一个想法的可行性有疑问。我有一个曲面（可以通过方程 F(x,y,z) = 0 进行参数化或隐式定义），我想绘制一些适合曲面的螺旋线，即曲面上的螺旋线。实现这一目标的过程是什么？我有一个基本想法，灵感来自光线行进方法：我有我的表面（它有一个有限的区域），然后我在它周围“绘制”一条大螺旋曲线，并减小螺旋的半径。如果螺旋线与曲面相交，那么我会保存该点，最后我将获得在曲面上绘制螺旋线的点集......请随时问我有关该问题的问题。感谢您的关注。托马斯

标签： geometrycomputational-geometrygeometry-surface

Answer 1

有不同的方法可以理解在曲面上“绘制螺旋曲线”。顺便说一句，我不确定您是否使用了正确的术语，因为螺旋线是类似弹簧的曲线，根本不平坦。相反，我将假设一些由隐式C(x,y)=0或参数x=Xc(t),y=Yc(t)表示描述的平面曲线。

一种方法是使用(u,v)表面的参数化，如纹理映射中使用的那样x=Xs(u,v), y=Ys(u, v), z=Zs(u, v)。例如，对于一个球体，(u,v)可以对应于球面系统中的角坐标。在这种情况下，映射就足够了x=u, y=v，曲线的点和曲面的点之间会有直接的对应关系。

另一种方法是通过在方向上“挤出”曲线z以形成圆柱面，并与圆柱面相交。在这种情况下，您形成系统

S(x, y, z)= 0
C(x, y)= 0

其中是免费的，并作为 的函数z求解。（您也可以使用参数方程，有不同的组合。）实际上，您执行的是曲线的平行投影。(x, y)z

除了圆柱体，您还可以通过选择顶点（例如原点）并考虑“孔径”系数且自由的点(zx, zy, az)来考虑圆锥曲面。这个想法非常接近您的“半径减小”方法，并且对应于中心投影。az