python - 如何在快速傅里叶变换中正确缩放频率轴?
问题描述
我正在尝试一些采用简单正弦函数的 FFT 的示例代码。下面是代码
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
N = 1024
limit = 10
x = np.linspace(-limit, limit, N)
dx = x[1] - x[0]
y = np.sin(2 * np.pi * 5 * x) + np.sin(2 * np.pi * x)
Y = np.abs(np.fft.fft(y) ** 2)
z = fft.fftshift(np.fft.fftfreq(N, dx))
plt.plot(z[int(N/2):], Y[int(N/2):])
plt.show()
从给定的函数中,很明显应该在频率 1 和 5 处有两个尖峰。但是,当我运行此代码时,我得到以下图。
显然,尖峰不在应有的位置。此外,我注意到频率缩放对点数N
以及我所做的间隔限制很敏感limit
。例如,设置N = 2048
给出了以下图。
如您所见,尖峰的位置发生了变化。现在保持N = 1024
和设置limit = 100
也会改变结果。
我怎样才能使频率轴始终正确缩放?
解决方案
fftfreq
按以下顺序返回频率范围:正频率从最低到最高,然后负频率按绝对值的相反顺序返回。(您通常只想绘制一半,就像您在代码中所做的那样。)请注意该函数实际上需要对数据知之甚少:只需要样本数及其在时域中的间距。
fft
执行实际的(快速)傅里叶变换。它对输入采样做出相同的假设,即它是等距的,并以与 相同的顺序输出傅立叶分量fftfreq
。它不关心实际的频率值:采样间隔不作为参数传入。
但是,它确实接受复数作为输入。在实践中,这种情况很少见。输入通常是实数样本,如上例所示。f
在这种情况下,傅里叶变换有一个特殊的性质:它在频域中是对称的,即和具有相同的值−f
。出于这个原因,绘制频谱的两半通常没有意义,因为它们包含相同的信息。
有一个突出的频率:f = 0
。它是信号平均值的度量,它与零的偏移量。在返回的频谱fft
和从 的频率范围中fftfreq
,它位于第一个数组索引处。如果绘制两半,则将频谱四处移动可能是有意义的,因此负半部分位于零分量的左侧,正半部分位于其右侧,这意味着所有值都按升序排列并准备好绘制.
fftshift
正是这样做的。但是,如果您无论如何只绘制了一半的频谱,那么您可能根本不费心去做。但如果这样做,则必须移动两个数组:频率和傅立叶分量。在您的代码中,您只改变了频率。这就是峰值出现在频谱错误一侧的原因:您绘制了傅立叶分量,指的是频率的正半部分相对于负半部分,因此右侧的峰值实际上意味着接近于零,而不是在远端。
您真的不需要依赖在频率上运行的任何这些功能。根据fftfreq
单独的文档生成它们的范围很简单:
from numpy.fft import fft
from numpy import arange, linspace, sin, pi as π
from matplotlib import pyplot
def FFT(t, y):
n = len(t)
Δ = (max(t) - min(t)) / (n-1)
k = int(n/2)
f = arange(k) / (n*Δ)
Y = abs(fft(y))[:k]
return (f, Y)
t = linspace(-10, +10, num=1024)
y = sin(2*π * 5*t) + sin(2*π * t)
(f, Y) = FFT(t, y)
pyplot.plot(f, Y)
pyplot.show()
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