haskell - 这条适用法则是什么意思？

Question

应用程序被声明为

class   Functor f   =>  Applicative f   where
pure    ::  a   ->  f   a
(<*>)   ::  f   (a  ->  b)  ->  f   a   ->  f   b

应用定律之一是：

x <*> y <*> z = ( pure (.) <*> x <*> y) <*> z

(.)函数之间的组合在哪里 ：

(.) ::  (b  ->  c)  ->  (a  ->  b)  ->  (a  ->  c)
f   .   g   =   \x  ->  f   (g  x)

在法律的右手边，

• 有pure (.)类型f((b -> c) -> (a -> b) -> (a -> c))吗？
• 有x类型f(b->c)吗？
• 有y类型f(a->b)吗？
• 有z类型f(a)吗？

在法律的左边，

• 有x类型f(a->b->c)吗？
• 有y类型f(a)吗？
• 有z类型f(b)吗？

谢谢。

标签： haskellapplicative

Answer 1

在等价的幺半群函子表示中，应用定律更容易理解：

class Functor f => Monoidal f where
  pureUnit :: f ()
  fzip :: f a -> f b -> f (a,b)
--pure x = fmap (const x) pureUnit
--fs<*>xs = fmap (\(f,x)->f x) $ fzip fs xs
--pureUnit = pure ()
--fzip l r = (,) <$> l <*> r

那么，你要问的法律是这样的：

fzip x (fzip y z) ≅ fzip (fzip x y) z

我的p ≅ q意思是，相当于重新关联元组类型，即显式

fzip x (fzip y z) ≡ fmap (\((a,b),c)->(a,(b,c))) $ fzip (fzip x y) z

所以这实际上只是一个结合律。使用中缀编写时更加明显(⋎) = fzip：

x ⋎ (y ⋎ z) ≅ (x ⋎ y) ⋎ z