python - 对称矩阵及其转置的逻辑比较

Question

我试图用数值测试矩阵及其转置的乘法是否真的生成了一个对称的方阵。

下面是我使用的代码：

mat = np.array([[1,2,3],[1,0,1],[1,1,1],[2,3,5]])
mat2 = np.linalg.inv(np.matmul(np.transpose(mat),mat))
mat2
array([[ 1.42857143,  0.42857143, -0.85714286],
   [ 0.42857143,  1.92857143, -1.35714286],
   [-0.85714286, -1.35714286,  1.21428571]])

mat2 似乎是对称的。

但是，以下代码的结果让我感到困惑：

np.transpose(mat2) == mat2
array([[ True, False, False],
   [False,  True, False],
   [False, False,  True]])

但是当我用垫子做同样的过程时，结果和我预期的一样：

np.transpose(np.matmul(np.transpose(mat),mat)) == np.matmul(np.transpose(mat),mat)
array([[ True,  True,  True],
   [ True,  True,  True],
   [ True,  True,  True]])

这与计算问题有关吗？如果是这样，我如何证明非对角线元素是相同的？

标签： pythonnumpymatrixtranspose

Answer 1

比较matand mat.T，您将整数与整数进行比较，没有问题。

mat2是浮点数，容易出现细微的错误。当您打印出来时mat2，您会看到完整数字的截断版本。看看 和之间的区别：mat2mat2.T

>>> mat2 - mat2.T
array([[ 0.00000000e+00,  1.11022302e-16, -1.11022302e-16],
       [-1.11022302e-16,  0.00000000e+00,  2.22044605e-16],
       [ 1.11022302e-16, -2.22044605e-16,  0.00000000e+00]])

差异的顺序是0.0000000000000001，这意味着它们“出于所有意图和目的”相等，但不完全相等。从这里有两个地方可以去。您可以接受数值精度是有限的，并使用类似的东西numpy.allclose进行相等测试，这会导致一些小错误：

>>> np.allclose(mat2, mat2.T)
True

或者，如果你真的坚持你的矩阵是对称的，你可以用这样的东西来强制它：

>>> mat3 = (mat2 + mat2.T)/2
>>> mat3 == mat3.T
array([[ True,  True,  True],
       [ True,  True,  True],
       [ True,  True,  True]])