floating-point - 这个二进制乘法是如何完成的？

Question

我试图理解 Jason Gregory 的《游戏引擎架构》一书中关于 IEEE 754 格式的摘录。麻烦的部分如下：

您可以在此免费示例中找到此摘录所属的章节。

给定二进制乘法 0x00FFFFFF x 2^127，我预计第一个操作数的右侧会添加 127 个二进制零，但实际上只添加了 104 个二进制零 (127 - 23)。为什么要删除这 23 个零？

标签： floating-pointbit-manipulation

Answer 1

书错了。有效数字的 24 位（1 由指数字段是零还是非零编码，23 明确存储在有效数字字段中）被正确解释为前导位，后跟小数点，后跟 23 位。因此，如果 24 位为 0xffffff，则数学有效数为 0x1.fffffe，当指数字段为 254（其编码指数值 127）时表示的值为 0x1.fffffe • 2 ¹²⁷。

以下文本关于最小浮点值也是错误的。它呈现的二进制表示，0x00800000，是最小的正常值。还有一些较小的值，称为次正常值。IEEE-754 32位二进制浮点值中可表示的最小非零值的表示为0x00000001，其表示的值为2 ^-149。

之后的文本对机器 epsilon 的定义不正确，断言它是满足 1+≠1 的最小浮点值。机器 epsilon 的正确定义是它是 1 与最小可表示值之间的差值更大比 1。这些定义不同，因为如果是正确的机器 epsilon，则x略大于 ½ 的值将满足 1+ x ≠ 1，因为在计算 1+ x期间会发生舍入，导致它向上舍入到 1+向下到 1。

该段还错误地说明了添加小于操作的值的方式，指出较小的值将被“砍掉”。最常见的是，浮点运算舍入到最接近的可表示值，尽管 IEEE-754 确实定义了其他舍入方法。