floating-point - 如何判断一个数字是否完全可以表示为 32 位 IEEE 浮点数？

Question

这是我教科书中的一个任务

给定一个字长为 32 位的假设计算机，按以下方式划分：
1 位用于符号位
9 位偏置指数
23 位尾数部分

2^-1 + 2^-29 是这台计算机上的机器号吗？我该如何确定这一点？

标签： floating-pointbinarybitcpu-architectureieee-754

Answer 1

abs((-1) - (-29))大于尾数宽度，所以不，这将需要太多有效数字（尾数位）。

如果您以非指数二进制点表示法将它们写出来，例如0.10000...0001，则 2 个之间的差距将大于尾数。（它就像一个小数点，但它是二进制位值，所以我们称之为二进制点。）

即 2 ^-29小于 1 ulp 对于 2 ^-1。（ULP = 最后一位的单位 = 尾数的低位。）

二进制浮点数可以表示固定数量的（二进制）“有效数字”，等于尾数宽度，而与指数无关。 （https://en.wikipedia.org/wiki/Significant_figures）

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请注意，尾数的存储宽度仅为 23 位，但有一个隐含的前导 1（用于规范化数字）。 https://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format

所以 1 + 2 ^-23是完全可表示的。即 1 ulp 相对于 1.0 = 2^-23。（相关：https : //en.wikipedia.org/wiki/Machine_epsilon 像 C FLT_EPSILON 是 1.0 的半个 ulp，所以 binary32 浮点数为 2^-24。这是您可以添加的最大值，1.0并且仍然有结果轮到1.0，即添加到时可以获得的最大舍入误差1.0）

请注意，许多现代文档使用“有效位”而不是“尾数”，因为它在数学上更正确。