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python - 给定区间使用牛顿法求根

问题描述

我可以使用牛顿法通过从新的 x 值中减去旧的 x 值并检查收敛标准来计算函数的根。当给定一个封闭的间隔时，有没有办法做到这一点，例如

给定一个函数和区间 [a,b] = [0.1, 3.0]，收敛标准将通过检查 [3.0 - 0.1] < 0.000001，即 [ba] < 0.000001 来计算。

我提供的代码是使用 x 值计算收敛标准。我试图弄清楚是否有一种方法可以使用区间而不是 x 值。

from math import *

x = 1.0 #initial value

for j in range(1, 101):
    xnew = (x**2 + cos(x)**2 -4*x)/(2*(x - cos(x)*sin(x) -2))

    if abs(xnew - x) < 0.000001:
        break
    x = xnew

print('Root = %0.6f ' % xnew)
print('Number of iterations = %d' % j)

标签： pythonnewtons-method

解决方案

听起来更像是通过将间隔减半来近似根。这是我使用 sympy 为不同功能模块化它的一种方法（尽管希望你仍然会发现它很有用）：

def halving_the_interval(f_x, interval, i):

    v1 = f_x.evalf(subs={x : interval[0]})
    v2 = f_x.evalf(subs={x : interval[1]})

    # half of interval
    half = (interval[0] + interval[1]) / float(2)

    # f_(half)
    v3 = f_x.evalf(subs={x: half})

    if (abs(interval[1] - interval[0]) > 0.000001):
        # check intervals for where root lies
        # recursive step on new interval, update iterations
        if (v1 < 0 and v3 > 0):
            halving_the_interval(f_x, [interval[0],half], i+1)
        else:
            halving_the_interval(f_x, [half, interval[1]], i+1)
    else:
        print ("Root =  %0.6f " % half)
        print ("Number of iterations = %d" % i)

halving_the_interval(x**2 - 2, [1,2], 0)

并且使用函数进行测试x^2 - 2 = 0应该在 sqrt(2) 处找到根，即。〜1.41。

$ halving_the_interval(x**2 - 2, [1,2], 0)

根 = 1.414214

迭代次数 = 20

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