neural-network - 如何使用神经网络求解 PDE？

Question

我试图寻找这个问题的简单答案，但所有解释都是针对能够理解数值方法和偏微分方程的人。我有计算机科学背景，所有论文看起来都像行话。我已经了解并使用机器学习算法来解决与图像或正常表格数据（具有输入特征和目标类）相关的分类和回归问题。我也使用过神经网络，但只是作为一个黑匣子，在给定一些输入的情况下产生所需的输出，并调整参数以获得最佳精度。

我不明白，给定一个要解决的 PDE，当用一些例子训练网络时，神经网络的输入是什么？在机器学习的语言中，有哪些例子，输入的特征是什么？参数是什么？

任何帮助理解这一点将不胜感激。

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Answer 1

当然，这取决于 PDE 的类型。许多 PDE 描述了空间分布式系统随时间的演变。这种系统的状态由值v ( x ,t)定义，该值取决于空间变量x（通常是向量）和时间t。值本身也可以是向量。

学习样本可以由初始条件v _i_0( x _i,0)的离散值和以后的值v _i_j( x _i,t_j) 组成。初始值作为输入呈现给网络。然后将稍后时间t_j的（循环）网络的输出与样本值进行比较以计算误差。

由于 PDE 通常在空间上是同质的，因此在这里使用循环卷积网络是有意义的。这与图像处理中经常使用的类型相同。

卷积核的大小取决于 PDE 中空间导数的程度：

对于值v的每个分量，网络需要至少有一层。可能需要额外的隐藏层，特别是如果 PDE 具有更高的时间导数。

这是对一个复杂问题的非常简短的回答，但我希望它能为您指明正确的方向。我也知道我使用了一些 PDE 行话，但我试图将其减少到绝对最低限度。