math - 用初学者的话来说，NaN（非数字）是什么？

假设您正在处理实数 - 1、π、e、-137、6.626 等数字。在实数领域，通常可以执行一些操作，但有时没有定义结果。例如，让我们看一下对数。您可以取许多实数的对数：例如，ln e = 1，而 ln 10 约为 2.3。但是，从数学上讲，负数的对数没有定义。也就是说，我们不能取 ln (-4) 并返回一个实数。

所以现在，让我们跳到编程领域。想象一下，你正在编写一个程序来计算一个数字的对数，并且用户以某种方式希望你除以一个负数的对数。应该发生什么？

这个问题有很多合理的答案。您可以让操作引发异常，这在 Python 等某些语言中完成。

然而，在硬件层面（由设计 IEEE-754 标准的人）做出的决定是给程序员第二个选择。与其让程序崩溃，不如让操作产生一个值，表示“你想让我做一些不可能的事情，所以我报告一个错误”。完成此操作的方法是让操作产生特殊值NaN（“非数字”），这表明在您的计算中的某个地方，您尝试执行数学上未定义的操作。

这种方法有一些优点。在许多科学计算设置中，代码执行一系列长计算，定期生成可能感兴趣的中间结果。通过未定义的操作产生NaN因此，程序员可以编写代码，按照他们的意愿进行数学运算，然后在代码中引入特定点，他们将测试操作是否成功。从那里，他们可以决定做什么。与触发异常或彻底崩溃程序相比，这意味着程序员要么需要保护每一系列可能失败的浮点操作，要么必须自己手动测试。这是关于哪个选项更好的判断调用，这就是您可以启用或禁用浮点 NaN 行为的原因。

什么是导致 NaN 值的操作？

有很多方法可以NaN从操作中获得结果。这是一个采样器，虽然这不是一个详尽的列表：

取负数的对数。
取负数的平方根。
从无穷大中减去无穷大。
对执行任何算术运算NaN。

NaN然而，有些操作即使在数学上是未定义的，也不会产生。例如，将正数除以零会得到正无穷大，即使这不是数学定义的。这样做的原因是，如果当 y 从正方向接近零时，将 x / y 设为正 x 的极限，则值会无限增长。

为什么 0.0 / 0.0 的结果声明为未定义？不应该是0吗？

这更像是一个数学问题。这与限制的工作方式有关。让我们考虑如何定义 0 / 0。一种选择是这样说：如果我们看表达式 0 / x 并在 x 接近零时取极限，那么我们会在每个点看到 0，所以极限应该为零。另一方面，如果我们查看表达式 x / x 并在 x 接近 0 时取极限，我们会在每个点看到 1，因此极限应该是 1。这是有问题的，因为我们希望 0 / 0 的值与您在评估这些表达式中的任何一个时发现的值一致，但我们无法选择一个有意义的固定值。结果， 0 / 0 的值被评估为NaN，表明这里没有明确的值可分配。

为什么任何数学运算的结果都不能用浮点数或整数来表示？一个值怎么可能是不可表示的？

这与 IEEE-754 浮点数的内部结构有关。直观地说，这归结为一个简单的事实：

有无限多个实数，其中有无限多个具有无限长的非重复小数，但是
您的计算机内存有限。

因此，存储任意实数可能需要存储无限长的数字序列，而我们的有限内存计算机无法做到这一点。因此，我们有浮点数存储不是非常大的实数的近似值，而无法表示值的原因是我们只是存储了近似值。

有关如何实际存储数字以及这在实践中意味着什么的更多信息，请查看传奇指南“每个程序员应该了解的浮点运算知识”

为什么负数的平方根不是实数？

我们以 √(-1) 为例。想象这是一个实数 x；也就是说，假设 x = √(-1)。平方根的概念是，它是一个数字，如果与自身相乘，则返回取平方根的数字。

那么... x 是多少？我们知道 x ≠ 0，因为 0 ² = 0 不是 -1。我们也知道 x 不可能是正数，因为任何正数乘以自身都是正数。而且我们也知道 x 不可能是负数，因为任何负数乘以自身都是正数。

我们现在有一个问题。无论这个 x 是什么，它都必须不是正数，不是零，也不是负数。这意味着它不是一个实数。

您可以通过引入一个数字 i 将实数推广到复数，其中 i ² = -1。请注意，由于上述原因，没有实数会这样做。

为什么 NaN 不等于不定？

“不确定”和“不管它是什么，它都不是一个实数”之间是有区别的。例如，0 / 0 可以说是不确定的，因为根据你接近 0 / 0 的方式，你可能会得到 0、1 或其他东西。另一方面，√(-1) 被完美地定义为一个复数（假设我们有 √(-1) 返回 i 而不是 -i），所以问题不在于“这是不确定的”作为“它有一个值，但该值不是实数。”

希望这可以帮助！

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