floating-point - 小数到二进制精度

考虑以下分数：

9.8765

如何在不丢失任何价值的情况下将其转换为精确的浮点二进制？

现在考虑以下分数

9.87654321

同样，我如何将其转换为浮点二进制而不丢失其值。

我想确定从浮点二进制值重建分数需要多少精确的二进制位。

这只是一个示例，我希望对具有许多数字的大分数执行操作（例如 9.876543210192283647582910）。

欣赏该示例是否使用 Java。

谢谢！

标签： floating-pointbinaryfractions

一般来说，一个有理数可以表示为一个基数 R 分数，当且仅当，在其最低条件下，分母的所有质因数都是 R 的因数。

将此应用于十进制，当且仅当在其最低项中 2 和 5 是分母的唯一质因数时，有理数具有终止的十进制扩展。因此 13/40 有一个终止的十进制扩展，而 1/3 没有。

对于二进制分数，这意味着将整数 A 和 B 的有理数表示为 A/2 ^B。因为 2 是 10 的因数，所以所有二进制分数都可以表示为十进制分数。5 不是 2 的因数，所以 1/10 等小数部分不能表示为二进制小数。

作为普通 Java 的精确表示还有其他条件double。B 必须在 [-1022, 1023] 范围内，并且 A 必须有不超过 53 个有效位。还有其他次正规数，指数为 -1023。增加位数会放宽这些限制，但仍然不允许像 1/10 这样的数字以二进制浮点数精确表示。

两种最常见的解决方案是接受它，或者切换到BigDecimal.

9.87650000000000005684341886080801486968994140625 非常非常接近 9.8765。对于长度和重量等物理量，即使使用良好的实验室设备，测量误差也将超过转换误差。当然，有些算法在后续计算中会因为四舍五入而累积较大的误差。

BigDecimal对于带有终止小数扩展的数字特别有用。财务计算通常必须处理 0.01 或 0.001 的精确倍数。尽管它允许任意精度，直到可用内存，但它无法避免所有舍入误差。没有BigDecimal正好等于 1/3。