python - 如何解决投资组合优化的方程和约束系统?
问题描述
我有一个DataFrame
如下:
Name Volatility Return
a 0.0243 0.212
b 0.0321 0.431
c 0.0323 0.443
d 0.0391 0.2123
e 0.0433 0.3123
我想要一个Volatility
of0.035
和最大化Return
这种波动性。
也就是说,我想在一个新Df
的Name
中,该资产的百分比将在我的portfolio
中给出最大值等于。Return
Volatility
0.035
Return
因此,我需要求解具有多个条件的方程组,以获得固定结果( )的最佳解(最高Volatility == 0.035
)。
条件是:
- 每个资产的权重介于 0 和 1 之间。
- 权重之和为 1。
- 权重之和乘以每种资产的波动率就是“期望波动率”。
- 权重之和乘以每项资产的回报就是“总回报”。这应该最大化。
解决方案
这是一种使用开源SAT/SMT求解器Z3Py的方法。在 SAT/SMT 求解器中,您可以将代码编写为条件列表,程序会找到最佳解决方案(或仅当 Z3 用作求解器时满足所有条件的解决方案)。
最初 SAT 求解器仅使用纯布尔表达式,但现代 SAT/SMT 求解器还允许使用固定位和无限整数、分数、实数甚至函数作为中心变量。
为了将给定的方程写入 Z3,它们被完全转换为 Z3 表达式。下面的代码注释了每个步骤。
import pandas as pd
from z3 import *
DesiredVolatility = 0.035
df = pd.DataFrame(columns=['Name', 'Volatility', 'Return'],
data=[['a', 0.0243, 0.212],
['b', 0.0321, 0.431],
['c', 0.0323, 0.443],
['d', 0.0391, 0.2123],
['e', 0.0433, 0.3123]])
# create a Z3 instance to optimize something
s = Optimize()
# the weight of each asset, as a Z3 variable
W = [Real(row.Name) for row in df.itertuples()]
# the total volatility
TotVol = Real('TotVol')
# the total return, to be maximized
TotReturn = Real('TotReturn')
# weights between 0 and 1, and sum to 1
s.add(And([And(w >= 0, w <= 1) for w in W]))
s.add(Sum([w for w in W]) == 1)
# the total return is calculated as the weighted sum of the asset returns
s.add(TotReturn == Sum([w * row.Return for w, row in zip(W, df.itertuples())]))
# the volatility is calculated as the weighted sum of the asset volatility
s.add(TotVol == Sum([w * row.Volatility for w, row in zip(W, df.itertuples())]))
# the volatility should be equal to the desired volatility
s.add(TotVol == DesiredVolatility)
# we're maximizing the total return
h1 = s.maximize(TotReturn)
# we ask Z3 to do its magick
res = s.check()
# we check the result, hoping for 'sat': all conditions satisfied, a maximum is found
if res == sat:
s.upper(h1)
m = s.model()
#for w in W:
# print(f'asset {w}): {m[w]} = {m[w].numerator_as_long() / m[w] .denominator_as_long() : .6f}')
# output the total return
print(f'Total Return: {m[TotReturn]} = {m[TotReturn].numerator_as_long() / m[TotReturn] .denominator_as_long() :.6f}')
# get the proportions out of the Z3 model
proportions = [m[w].numerator_as_long() / m[w] .denominator_as_long() for w in W]
# create a dataframe with the result
df_result = pd.DataFrame({'Name': df.Name, 'Proportion': proportions})
print(df_result)
else:
print("No satisfiable solution found")
结果:
Total Return: 452011/1100000 = 0.410919
Name Proportion
0 a 0.000000
1 b 0.000000
2 c 0.754545
3 d 0.000000
4 e 0.245455
您可以轻松添加其他约束,例如“任何资产都不能超过总数的 30%”:
# change
s.add(And([And(w >= 0, w <= 1) for w in W]))`
# to
s.add(And([And(w >= 0, w <= 0.3) for w in W]))`
这将导致:
Total Return: 558101/1480000 = 0.377095
Name Proportion
0 a 0.082432
1 b 0.300000
2 c 0.300000
3 d 0.017568
4 e 0.300000
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