python - 如何在 Python 中仅在特定点进行平滑样条插值设置导数？

Question

TL;博士

显然scipy没有提供类似于 MATLAB 的方法，该方法spapi允许仅在特定点设置导数，从而确保沿插值样条的平滑过渡。我想找到一种在 Python 中做到这一点的方法。

全面的

我的目标是使用 Python 3 进行样条插值，但仅在特定点设置所需的导数。例如，假设数组 X 定义了一个对象的位置，点对点，我想要一个样条曲线来表示一个可行的轨迹，但还要确保速度（一阶导数）在起点和终点都为零，其他点对衍生品没有限制。在此示例中，我还希望在相同点处使加速度（二阶导数）为零。

换句话说，我想要的是类似于 MATLABspapi函数的样条插值的实现，如下所示：

spline = spapi(knots,x,y)返回顺序的样条f（如果有）

k = length(knots) - length(x)

带有结序列的结

(*) f(x(j)) = y(:,j), all j.

如果 的某些条目x是相同的，那么这是在接触意义上的，即在Dm(j)f(x(j)) = y(:, j)、m(j) : = #{ i < j : x(i) = x(j) }和fDmf的mth导数的意义上。因此，位点in的 r 倍重复对应于值的规定和f at的一阶导数。zxr – 1z

我试过的

我知道 的 类的方法from_derivatives，BPoly但这scipy.interpolate带来了一个关键问题，即当未在任何点指定导数时，该算法不能保证平滑过渡，如此处所述。我也尝试了这里提出的建议，但正如预期的那样，出现了同样的问题。

所以，接下来我将简单复制我想要实现的目标，无论成功与否。

spapi没有衍生品

spapi这里是在 MATLAB 中使用方法的示例，没有设置任何导数。不是我想要的，因为导数在起点和终点都很高：

xi = linspace(0, 10, 6);
xnew = linspace(0, 10, 100);

yi = [0 2 1 4 2 0];

knots = optknt(xi, order);
ref_spline = spapi(knots, xi, yi);

spline = fnval(xnew, ref_spline);
der_spline = gradient(spline);

以及相应的参考点图以及插值样条曲线：

这里是该样条的一阶导数：

spapi与衍生品

在这里，使用spapiMATLAB 中的方法的示例，将导数设置为0起点和终点。完全符合预期结果，沿样条曲线平滑过渡，导数等于0起点和终点：

xi = linspace(0, 10, 6);
xnew = linspace(0, 10, 100);
xder = [0 xi 10];

yi = [0 2 1 4 2 0];
ynew = [0 yi 0];

knots = optknt(xder, order);
ref_spline = spapi(knots, xder, ynew);

spline = fnval(xnew, ref_spline);
der_spline = gradient(spline);

参考点图和样条曲线：

这里是该样条的一阶导数：

BPoly.from_derivatives与衍生品

在这里，使用BPoly.from_derivatives 将导数设置为0起点和终点的示例。不成功，即使导数0在起点和终点，也不能保证沿样条线平滑过渡：

ref_points = [0, 2, 1, 4, 2, 0]
time_vector = np.linspace(0, 10, 100)
time_points = np.linspace(0, 10, 6)

ref_complete = [[ref_points[j] if (i == 0) else 0 for i in range(2)] if (
    (j == 0) or (j == len(ref_points) - 1)) else [ref_points[j]] for j in range(len(ref_points))]

ref_spline = BPoly.from_derivatives(time_points, ref_complete)
spline = ref_spline(time_vector)

der_spline = ref_spline.derivative(1)
der_y = der_spline(time_vector)

澄清一下，定义的行ref_complete简单地将 的第一个和最后一个元素替换为ref_points一个数组，该数组包含 index 处的原始值和 index处0的 a ：01

>>> ref_points
[0, 2, 1, 4, 2, 0]
>>> ref_complete
[[0, 0], [2], [1], [4], [2], [0, 0]]

参考点图和样条曲线：

这里是该样条的一阶导数：

标签： pythonmatlabscipyinterpolationspline

Answer 1

如果您只想在两端使用零导数进行三次样条插值，这就足够了（此处的文档）

from scipy.interpolate import CubicSpline

CubicSpline(time_points, ref_points, bc_type="clamped")