python - Scipy LDL分解返回意外结果
问题描述
我生成了一个随机的 5*5 矩阵x
,如下所示:
>>> x = np.random.randn(5,5)
并使用如下分解对其进行scipy.linalg.ldl
分解:
>>> l, d, p = la.ldl(x)
使用l
,d
我p
想返回 x。我以为我可以做到以下几点:
>>> l[p,:] @ d @ l[p,:].transpose() - x
但这并没有像我预期的那样给我零。谁能解释我哪里出错了?
我的目标是获得下对角矩阵L
,这样x = LDL^T
就不需要行置换矩阵p
,但我对 scipy 给出的输出感到非常困惑。
解决方案
LDL 分解算法仅适用于 Hermitian/对称矩阵。您正在向它传递一个具有随机值的矩阵,该矩阵不太可能是对称的。此外,矩阵乘法应该在不将置换矩阵应用于下三角矩阵的情况下进行。
将非对称矩阵传递给 时scipy.linalg.ldl
,仅引用矩阵的下三角部分或上三角部分,具体取决于lower
关键字参数的值,默认为True
。我们可以看到这样做的效果np.isclose()
:
>>> x = np.random.randn(5,5)
>>> l, d, p = la.ldl(x)
>>> np.isclose(l.dot(d).dot(l.T) - x, 0)
[[ True False False False False]
[ True True False False False]
[ True True True False False]
[ True True True True False]
[ True True True True True]]
在这里,我们看到矩阵的上三角部分被假定为对称的,因此算法返回的值在这种情况下是正确的。
下面,我们传递la.ldl
一个实际的对称矩阵,得到预期的结果。
>>> x = np.array([[1, 2, 3],
[2, 4, 5],
[3, 5, 6]])
>>> l, d, p = la.ldl(x)
>>> print(np.isclose(l.dot(d).dot(l.T) - x, 0))
[[ True True True]
[ True True True]
[ True True True]]
如果您正在寻找一般的 LDL^T 分解,而没有 permutations,这将进一步减少矩阵的域。您的矩阵也需要是正定的。
下面是一个这样的矩阵示例:
>>> x = np.array([[2, -1, 0],
[-1, 3, -1],
[0, -1, 4]])
>>> l, d, p = la.ldl(x)
>>> l
array([[ 1. , 0. , 0. ],
[-0.5, 1. , 0. ],
[ 0. , -0.4, 1. ]])
>>> d
array([[2. , 0. , 0. ],
[0. , 2.5, 0. ],
[0. , 0. , 3.6]])
>>> p
array([0, 1, 2], dtype=int64)
如您所见,排列p
是[0, 1, 2]
,并且l
已经是下三角形。
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