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c - 使用 exp 控制舍入是否存在错误？

问题描述

我在某些平台上观察到不正确的（IMO）舍入行为，如下所示：

计算log(2)下舍入模式到FE_DOWNWARD和的值FE_UPWARD（参见<fenv.h>）。在我见过的所有情况下，向下舍入的结果都小于向上舍入的结果，这是我所期望的（结果不准确）。

现在使用相同的舍入模式，调用exp每个结果。由于exp是单调递增的（感兴趣区域的斜率约为 2），我预计这些结果会相差更远。但在一些测试平台上，这两个结果exp是等价的。

这是一个简单的测试程序：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <fenv.h>

int main(void) {
  fesetround(FE_DOWNWARD);
  double xlo = log(2);
  double xxlo = exp(xlo);
  printf("xlo=%.16e xxlo=%.16e\n",xlo,xxlo);

  fesetround(FE_UPWARD);
  double xhi = log(2);
  double xxhi = exp(xhi);
  printf("xhi=%.16e xxhi=%.16e\n",xhi,xxhi); 

  printf("Delta x=%.16e\n",xhi-xlo);
  if (xxlo == xxhi) 
    printf("FAIL\n");
  else 
    printf("Delta xx=%.16e\n",xxhi-xxlo);

  return 0;
}

Xeon E5520 @ 2.27GHz 的一个（良好）结果：

xlo=6.9314718055994528e-01 xxlo=1.9999999999999997e+00
xhi=6.9314718055994540e-01 xxhi=2.0000000000000005e+00
Delta x=1.1102230246251566e-16
Delta xx=6.6613381477509393e-16

其他通过测试的处理器：AMD Ryzen 9 3950X、Intel i7-5557U、Intel i7-3770、Intel m7-6Y75。

但据报道有一对失败了（xxlo==xxhi）：Intel E5-2650 和 AMD EPYC 7401，巧合的是，这两款机器都是服务器级机器。我无法直接访问这些，但在https://repl.it/languages/c上运行测试也失败了：

clang version 7.0.0-3~ubuntu0.18.04.1 (tags/RELEASE_700/final)
 clang-7 -pthread -lm -o main main.c
 ./main
xlo=6.93147180559945286e-01 xxlo=2.00000000000000000e+00
xhi=6.93147180559945398e-01 xxhi=2.00000000000000000e+00
Delta x=1.11022302462515655e-16
FAIL

我对结果的实际精度不太感兴趣，但对相对值更感兴趣。所以我错过了什么，或者这只是错误的？如果它错了，是硬件舍入错误还是软件数学库问题，甚至是编译器/设置问题？我也有兴趣收集运行简单测试的任何结果，看看是否可以从这些数据中得出任何额外的结论。

标签： cfloating-pointroundingieee-754

解决方案

分布（向下舍入到向上舍入）被函数的导数放大。因此，如果您的原始界限是 1ULP，我预计 2.0 处的 exp(x) 的价差为 3。那是（原始价差）*（导数）+1。+1 是因为您正在进行另一个向下舍入和围捕。

如果导数是 2.5，我预计输出价差在 3 到 4 之间。

请提供数字的十六进制；这应该通过避免 bin<->dec 转换来确定（这在某些机器上似乎也存在缺陷）。

我所说的都不能使您的结论无效，即服务器的硬件不一致，因此 IEEE 实施存在缺陷。

哦，还有一件事；检查优化器是否工作太努力——通过在查看日志后消除 exp。或者也许使用 FMA，它有时会给你更好的舍入误差。

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