c# - 如何实现 Maxwell 的分布？

问题描述

我有以下问题需要解决（此文本是从俄语翻译的。所以，可能存在一些翻译问题）：

...从正态分布中提取的另一种方法是从均匀分布 x1, x2 ∈ [0:0, 1:0) 中提取两个独立的随机数。然后应用以下变换：从具有零期望值和单位方差的正态分布中产生两个随机独立的数字 n ₁、 n _{2 。}

要将分布参数更改为其他参数，例如预期值和方差，您应该将绘制的结果乘以并添加，即在上面的等式中，N(μ, σ) 是具有正态分布的随机变量具有期望值 μ 和方差 σ。

根据麦克斯韦分布，速度矢量v的每个分量（x、y 或 z）是来自具有零期望值和方差的正态分布的随机变量，其中 m 是分子的质量，T 是开尔文温度, k _B是玻尔兹曼常数。

_{你的任务：为 300K 的 N 2}氮分子绘制 10,000 个速度矢量。使用以下公式计算这些向量的平均长度，从而计算氮分子速度的平均值：

public class Maxwell
{
    public double N1 { get; private set; }
    public double N2 { get; private set; }
    public void Compute(Random random)
    {
        double x1 = random.NextDouble();
        double x2 = random.NextDouble();

        N1 = Math.Sqrt(-2 * Math.Log(x1)) * Math.Cos(2 * Math.PI * x2);
        N2 = Math.Sqrt(-2 * Math.Log(x1)) * Math.Sin(2 * Math.PI * x2);
    }
}

public class Program
{
    static void Main(string[] args)
    {
        Random r = new Random();
        Maxwell m = new Maxwell();
        m.Compute(r);

        double n1 = m.N1;
        double n2 = m.N2;

        //.....? 
    }
}

我不明白如何从 n1 和 n2 实现 N(μ, σ)，以及如何从那里得到向量v。

任何人都可以帮忙吗？

编辑：我已经根据Eric Lippert 的回答实现了它：

using System;

public class CommonDistributions
{
    public static double Uniform(Random random)
    {
        return random.NextDouble();
    }

    static double Gaussian(Random random)
    {
        return Math.Sqrt(-2 * Math.Log(Uniform(random))) * Math.Cos(2 * Math.PI * Uniform(random));
    }
    public static double Gaussian(Random random, double mu, double sigma)
    {
        return sigma * Gaussian(random) + mu;
    }
}

public class MaxwellBolzman
{
    static double KB = 1.38064852e-23;

    static double MaxwellVariance(double mass, double temperature)
    {
        return Math.Sqrt(KB * temperature / mass);
    }

    static double MaxwellComponent(Random random, double mass, double temperature)
    {
        double mu = 0.0;
        double sigma = MaxwellVariance(mass, temperature);

        return CommonDistributions.Gaussian(random, mu, sigma);
    }
    public static double Maxwell(Random random, double mass, double temperature)
    {
        double one = MaxwellComponent(random, mass, temperature);
        double two = MaxwellComponent(random, mass, temperature);
        double thr = MaxwellComponent(random, mass, temperature);

        return Math.Sqrt(one * one + two * two + thr * thr);
    }
}

public static class MainClass
{
    public static void Main(String[] args)
    {
        Random random = new Random();

        const int N = 10000;
        const int T = 300;//300K
        const double mass = 28.02;//28.02 g/mol

        double sum = 0.0;

        for (int i = 1; i < N; i++)
        {
            sum = sum + MaxwellBolzman.Maxwell(random, mass, T);
        }

        Console.WriteLine($"Maxwell-Boltzman = {sum/N}");

        string str = string.Empty;
    }
}

我不确定温度值和氮 2 的质量。

如果有人可以对代码发表评论，那就太好了。

标签： c#probability-distribution

解决方案

在这种情况下要做的事情是思考“假设我有一个魔术盒，它回答了我向它提出的特定问题；那个盒子的输入和输出会是什么？” 并编写一个实现该框的方法。

从最简单的盒子开始。没有输入，输出是一个介于 0 和 1 之间的均匀分布数：

static Random random = new Random();
static double Uniform() => random.NextDouble();

好的，现在我们的工具箱中有一个新工具。我们的下一个魔法盒子是什么？没有输入，输出是一个均值为 0 标准差为 1 的正态分布数：

static double StandardNormal() =>
  Sqrt(-2 * Log(Uniform())) * Cos(2 * PI * Uniform());

我们还有另一个工具。我们可以用它构建什么？输入：均值和标准差，输出，具有该均值和标准差的正态分布数：

static double Normal(double mean, double sigma) =>
  sigma * StandardNormal() + mean;

好的，现在我们需要什么？作为质量和温度函数的方差：

static double KB = 1.38064852e-23;
static double MaxwellVariance(double mass, double temperature) => 
  Sqrt(KB * temperature / mass);

超级，我们正在前进。现在我们需要什么？输入是质量和温度，输出是单个随机麦克斯韦速度分量：

static double MaxwellComponent(double mass, double temperature) =>
  Normal(0.0, MaxwellVariance(mass, temperature));

现在我们需要什么？表示向量的类型：

struct Vector
{
  public double X { get; }
  public double Y { get; }
  public double Z { get; }
  public Vector(double x, double y, double z)
  {
    this.X = x;
    this.Y = y;
    thiz.Z = z;
  }
}

接下来我们需要什么？一个随机向量：

static Vector MaxwellVector(double mass, double temperature) =>
  ...

你能从这里拿走吗？接下来你需要什么？再次，继续将其分解为单行。不要花哨。编写您不理解的长代码没有任何奖励。

这里的技术是分而治之。有了这些问题，您几乎总是可以编写一个少于五行代码的方法，只计算一件事。那就这样做吧；每次只计算一件事，然后你的工具包中有一个新工具可以计算下一件事。此外，您有一组方法，其中每个方法 (1) 显然是正确的，因为它只有一行代码，并且 (2) 可测试！写一个测试套件！

更新：该问题已更新以实现其中一些想法，看起来还不错。还有一个关于温度和质量的后续问题。

温度看起来不错；300K。但是质量是完全错误的。说明说要使用一个分子的质量，但您输入的是一摩尔分子的质量。

请记住，“mol”就像“pair”或“dozen”。一对是两个东西，一打是十二个东西，一摩尔大约是 600000000000000000000000 个东西。显然，一个 N2 分子的重量不超过 28 克。相反，6000000000000000000000000 个 N2 分子重 28 克。

还要记住，质量和体积的公制单位是完全任意选择的。如果你把地球的周长除以 40 亿，做一个边长一样长的立方体，然后装满水，那就是 1 克的质量。

我们选择了与“mol”相关的值，因为它具有这样的性质：同种分子的 mol 的质量等于分子的原子量（以克为单位）。所以这些小盒子中有 18 个有 1 摩尔的水分子。使用摩尔质量只是一种方便，因为它使数字对我们的目的更“合理”；通常我们习惯于考虑一些克水，而不是一些水分子，但你的问题只涉及一万个分子，而不是一万克。因此，您要做的是将一摩尔的质量除以一摩尔中的物质数量，得到一个分子的质量，以克为单位。

接下来要做的是进行单位分析，以确定质量需要以克还是千克为单位！对于 KB，我们有 1.38E-23 的值，维基百科有用地指出，它的单位是焦耳每开尔文。我们如何使用它？我们取 KB*T/M 的平方根。平方根需要的单位是多少？它是速度的标准偏差，以米每秒为单位，所以我们需要KB*T/M以米平方每秒为单位。

KB 是焦耳每开尔文；T 是开尔文，KB * T焦耳的单位也是如此。
焦耳的单位是千克乘以平方米/秒平方。
因此，要获得米平方/秒平方，我们需要除以千克，而不是克。

所以你需要的是克/摩尔除以分子/摩尔得到克/分子，然后将其转换为千克/分子。

有道理？ 养成对每个问题进行单元分析的习惯。当我在黑暗时代还是一名物理专业的学生时，这让我犯了很多错误。

旁白：说到单位分析，需要注意的是：您的文本摘录将标准差称为方差，但标准差实际上定义为方差的平方根。这种用法非常普遍，您应该从上下文中推断“方差”是否意味着“真正的方差”，或者在这种情况下是标准偏差。

也就是说，文本应该说“N(μ, σ) 是一个具有正态分布的随机变量，期望值 μ 和方差 σ ²。” 或者应该说“N(μ, σ) 是一个具有正态分布的随机变量，期望值为 μ，标准差为 σ。” 请注意这一点并防御性地阅读。

另外一个问题：您可能已经注意到我们表示分布的方式非常“笨拙”。感觉就像你必须做很多工作才能表示一些相当简单的东西。我目前的研究是概率语言，这使得这类工作非常简单。在概率语言中，我们将代表您的工作流程，如下所示：

IDistribution<double> Speed(double mass, double temp)
{
  IDistribution<double> c = 
    Normal.Distribution(0.0, MaxwellVariance(mass, temp))
  double x = sample c;
  double y = sample c;
  double z = sample c;
  return Sqrt(x*x + y*y + z*z);
}
...
double mean = Speed(mass, temp).Mean(10000);

（如果这看起来像一个Task<T>被替换为IDistribution<T>和await替换为的异步方法sample，那是因为它是；异步和概率工作流都可以作为协程实现。）

如果您对概率语言的主题感兴趣，我有一个温和而冗长的介绍，从这里开始：https ://ericlippert.com/2019/01/31/fixing-random-part-1/

c# - 如何实现 Maxwell 的分布？

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