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python - Scipy ODR 结果与 sd_beta 的巨大相对误差

问题描述

在一些实验数据上运行 ODR 算法时，我被要求使用以下模型运行它：

拟合函数 1

很明显，这个拟合函数包含一个冗余的自由度。

当我对我的实验数据运行拟合时，我得到了巨大的 beta 相对误差，从 8000% 的相对误差开始。

当我尝试再次运行拟合但使用没有冗余自由度的拟合函数时，例如：

双曲线拟合

我不明白这种问题。

为什么会这样？为什么 ODR 算法对冗余自由度如此敏感？我无法向我的主管回答这些问题。一个答案将不胜感激。

重现代码示例： 
from scipy.odr import RealData, Model, ODR


def func1(a, x):
    return a[0] * (x + a[1]) / (a[3] * (x + a[1]) + a[1] * x) + a[2]


def func2(a, x):
    return a[0] / (x + a[1]) + a[2]


# fmt: off
zx = [
    1911.125, 2216.95, 2707.71, 3010.225, 3410.612, 3906.015, 4575.105, 5517.548,
    6918.481,
]
dx = [
    0.291112577, 0.321695254, 0.370771197, 0.401026507, 0.441068641, 0.490601621,
    0.557573268, 0.651755155, 0.79184836,
]
zy = [
    0.000998056, 0.000905647, 0.000800098, 0.000751041, 0.000699982, 0.000650532,
    0.000600444, 0.000550005, 0.000500201,
]
dy = [
    5.49029e-07, 5.02824e-07, 4.5005e-07, 4.25532e-07, 3.99991e-07, 3.75266e-07,
    3.50222e-07, 3.25003e-07, 3.00101e-07,
]
# fmt: on

data = RealData(x=zx, y=zy, sx=dx, sy=dy)

print("Func 1")
print("======")
beta01 = [
    1.46,
    4775.4,
    0.01,
    1000,
]
model1 = Model(func1)
odr1 = ODR(data, model1, beta0=beta01)
result1 = odr1.run()
print("beta", result1.beta)
print("sd beta", result1.sd_beta)
print("relative", result1.sd_beta / result1.beta * 100)


print()
print()


print("Func 2")
print("======")
beta02 = [
    1,
    1,
    1,
]
model2 = Model(func2)
odr2 = ODR(data, model2, beta0=beta02)
result2 = odr2.run()
print("beta", result2.beta)
print("sd beta", result2.sd_beta)
print("relative", result2.sd_beta / result2.beta * 100)

这打印出来：

Func 1
======
beta [ 1.30884537e+00 -2.82585952e+03  7.79755196e-04  9.47943376e+01]
sd beta [1.16144608e+02 3.73765816e+06 6.12613738e-01 4.20775596e+03]
relative [   8873.82193523 -132266.24068473   78564.88054498    4438.82627453]


Func 2
======
beta [1.40128121e+00 9.80844274e+01 3.00511669e-04]
sd beta [2.73990552e-03 3.22344713e+00 3.74538794e-07]
relative [0.1955286  3.28640051 0.12463369]
Scipy/Numpy/Python 版本信息：

版本是：

标签： pythonnumpyscipycurve-fittingone-definition-rule

解决方案

问题不在于自由度。

自由度是数据点数与拟合参数数之差。两个公式的问题具有相同数量的自由度，因为它们具有相同数量的参数。看起来你没有自由度，这是个好消息，这意味着它可以被安装。

但是，您是对的，第一个表达式有一些问题：您尝试拟合的参数不是独立的。

用一些更简单的例子可能会更好地理解这一点。

考虑以下表达式：

y = x + b + c

给定和with 的n数据，您尝试拟合它。xyn >> 2

问题是： 和 的最佳值是b多少c？这是无法回答的。您可以从数据中说出的所有x信息y都是关于组合的。因此，如果b + c是0，拟合不能告诉我们是否b = 1000, c = -1000或b = 1, c= -1，但至少我们可以说，给定b我们可以确定c。给定 的错误是什么b？潜在无限。这就是拟合给您带来较大相对误差的原因。

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