python - 为什么将 NumPy FFT 的输出除以 N？

Question

在许多教程/博客中，我看到了np.fft.fft(signal)除以样本点数的输出N。

我知道在某些实现中，变换是通过一些因素来缩放/标准化的，比如乘以N. 但是，我只是阅读了文档，默认情况下输出fft.fft()是未缩放的。然而，我仍然看到输出除以N任何地方。

为什么是这样？

我注意到，通过按比例缩放输出，1/N我可以得到贡献波信号的正确幅度。所以显然这是必要的，但我想了解纯输出与缩放输出相比是什么。

标签： pythonnumpysignalssignal-processingfft

Answer 1

要使 DFT 可逆 ( x == IDFT(DFT(x)))，您需要除以N某处。在信号处理中，这种归一化通常在逆变换中完成。例如Wikipedia 以这种方式显示它。在其他领域，它更经常在前向变换中完成。在物理学中，我已经看到一半的归一化 ( 1/sqrt(N)) 应用于每个变换，使它们对称。

当正向变换归一化时，它返回的值与信号长度无关（例如，零频率是所有信号值的平均值）。因此，在研究信号功率时，这是更有用的变体。

在逆变换中应用归一化的变体（通常在信号处理软件中实现，例如np.fft.fft()和 MATLAB 的fft），然后在频域中通过乘法计算卷积是最简单的：可以直接编写g = IDFT(DFT(f)*DFT(h)). 如果在其他地方应用归一化，则必须部分撤消以获得正确缩放的结果。

其他软件，例如 FFTW 库，根本不规范化转换，这取决于用户。如果用户想要一个不同于库选择的标准化变体，这可以避免不必要的乘法。