floating-point - 如果我们将格式更改为类似于双 IEEE 754-1985 的格式，我们能否消除数字的浮点错误？

Question

目前 IIRC，当前显示浮点数的方法是将它们显示为1/2 + 1/4 + 1/8 .... 但是，如果我们改变对浮点数的处理方法，使得任何浮点数实际上都是一个普通整数，并用一系列 0 填充回来。每个数字都必须更大，类似于 62 位双精度数。

对于 62 位双精度数，我们为指数保留 11 位，为实际数字保留 53 位。现在，我们可以做的是让一个数字代表我们用它填充的“零”的数量。在这个例子中，我们可以有 11 个作为填充位，这意味着我们有(2 ^ 11) - 1一个 53 位数字的精度位数。

假设我想显示0.4，目前在 Python 中我们知道0.4有浮点问题，例如，

>>> import decimal
>>> decimal.Decimal(0.4)
Decimal('0.40000000000000002220446049250313080847263336181640625')

但是使用我的编码，这不会发生，为什么？因为我可以4用传统的二进制来表示数字，100而超过零的数量可以表示为二进制数1，01. 这意味着我可以用数字表示数字0.4而没有任何浮点问题，

0 00000000001 00000000000000000000000000000000000000000000000000100

第一位保留用于符号，接下来11用于零填充和53数字。它需要更多位，但我现在可以2 ^ 11准确地表示一个长度为位数的数字。不仅如此，维基百科页面还建议 C++ double 仅16数字准确，这意味着我的2048 - 16数字更准确！

标签： floating-pointprecisionfloating-accuracy

Answer 1

您特别提到 IEEE 754-1985 很奇怪，因为IEEE 754-2008已经引入了十进制算术。与 double 相比，您提出的方案的范围要小得多，这使得它不适合科学计算。事实上，小数计算经常被保留用于财务计算，因为即使在休闲生活中，我们也很少处理绝对精度。我们可以在田间饲养 3 头奶牛，但它们的体重呢？他们的价格可能看起来绝对准确，但在你计算出你所欠的销售税之后呢？

IEEE 754-2008 引入了decimal64，其中最大有效数字仍然是16。即使在科学领域（十进制算术不合适），NASA 的星际 飞行也依赖于 pi 的简陋 3.141592653589793 ，在小数点后第 15 位。哦，但你想要财务计算？好吧，.NET 使用 128 位小数，其精度为28-29位，世界各地的金融机构都乐于采用 .NET 小数，而无需打扰其他花哨的方案。decimal128存在并具有 34 位精度。

此外，您的方案不可能有 2048-16 位的精度。您只为数字分配 53 位，而 .NET Decimal 分配了96 位，因为您的方案非常相似

Decimal 值的二进制表示由 1 位符号、96 位整数和用于划分 96 位整数并指定它的哪一部分是小数部分的比例因子组成。比例因子隐含地是数字 10，升为从 0 到 28 的指数。

准确度将处于 decimal64 的 16 位（使用 50 位）和 .NET Decimal 的 28 位之间的低端。在实践中，普通用户每天不会进行数十亿的财务计算，因此消费者的 CPU 不会费心采用 IEEE 754-2008，而且由于唯一要求他们购买 IBM 的 Power CPU 以固定在他们的服务器中，所以不要期待本机硬件和集成（如标准，而不是额外的库）语言支持很快就会出现