function - 如何证明 log(1+x) 和 (1+x^2) 不相交?
问题描述
我尝试转换为指数,e^(1+x^2) -x -1 = 0 然后找到矛盾但没有找到。然后我区分找到一个最小值 > 0. 2xe^(1+x^2) -1 = 0 但没有找到解决方案,因为术语 2xe^(1+x^2) 不等于 1点 x。再次,即使有任何它仍然是一个局部最小值。
解决方案
令 f(x) = 1 + x^2 - log(1 + x)
有条件的:x > -1
f'(x) = 2x -1/(1+x)
f'(x) = 0 => x = (sqrt(3) - 1) / 2
f"(x) = 2 + 1/(1+x)^2, 总是大于 0
所以 f(sqrt(3) - 1) / 2) 必须是 f 的最小值
f(sqrt(3) - 1) / 2) 约为 0.8
所以 f(x) 总是大于 0.8
因此,f(x) = 0 没有解。
因此 log(1+x) 和 (1+x^2) 不相交。
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