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python - 为什么 np.linalg.norm(..., axis=1) 比写出向量范数的公式慢？

问题描述

要将矩阵的行标准化X为单位长度，我通常使用：

X /= np.linalg.norm(X, axis=1, keepdims=True)

尝试针对算法优化此操作时，我很惊讶地发现在我的机器上写出规范化的速度大约快 40%：

X /= np.sqrt(X[:,0]**2+X[:,1]**2+X[:,2]**2)[:,np.newaxis]
X /= np.sqrt(sum(X[:,i]**2 for i in range(X.shape[1])))[:,np.newaxis]

怎么会？性能损失在np.linalg.norm()哪里？

import numpy as np
X = np.random.randn(10000,3)

%timeit X/np.linalg.norm(X,axis=1, keepdims=True)
# 276 µs ± 4.55 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

%timeit X/np.sqrt(X[:,0]**2+X[:,1]**2+X[:,2]**2)[:,np.newaxis]
# 169 µs ± 1.38 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)

%timeit X/np.sqrt(sum(X[:,i]**2 for i in range(X.shape[1])))[:,np.newaxis]
# 185 µs ± 4.17 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)

我在支持 OpenBLAS 的 MacbookPro 2015 上(1) python3.6 + numpy v1.17.2观察到这一点。(2) python3.9 + numpy v1.19.3

我不认为这是这篇文章的副本，它解决了矩阵范数，而这篇文章是关于向量的 L2 范数。

标签： pythonnumpy

解决方案

row-wise L2-norm的源代码归结为以下代码行：

def norm(x, keepdims=False):
    x = np.asarray(x)
    s = x**2
    return np.sqrt(s.sum(axis=(1,), keepdims=keepdims))

简化代码假定实值x并利用np.add.reduce(s, ...)等价于s.sum(...).

因此，OP 问题与询问为什么np.sum(x,axis=1)慢于sum(x[:,i] for i in range(x.shape[1]))：

%timeit X.sum(axis=1, keepdims=False)
# 131 µs ± 1.6 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)
%timeit sum(X[:,i] for i in range(X.shape[1]))
# 36.7 µs ± 91.2 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)

这个问题已经在这里回答了。简而言之，减少 ( .sum(axis=1)) 伴随着开销成本，这些开销通常在浮点精度和速度方面得到回报（例如缓存机制、并行性），但在仅减少三列的特殊情况下则不会。在这种情况下，与实际计算相比，开销相对较大。

如果X有更多列，情况会发生变化。现在，numpy-boosted 规范化比使用 python for 循环的归约要快得多：

X = np.random.randn(10000,100)
%timeit X/np.linalg.norm(X,axis=1, keepdims=True)
# 3.36 ms ± 132 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
%timeit X/np.sqrt(sum(X[:,i]**2 for i in range(X.shape[1])))[:,np.newaxis]
# 5.92 ms ± 168 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

在这里可以找到另一个相关的 SO 线程：numpy ufuncs vs. for loop。

问题仍然是为什么 numpy 没有明确地处理常见的减少特殊情况（例如对具有低轴维度的矩阵的列或行的求和）。可能是因为这种优化的效果往往在很大程度上取决于目标机器，并大大增加了代码的复杂性。

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