function - 是否可以将 2D 噪声函数与合理的导数一起转换为另一个函数？

Question

我有一个噪声函数 NoiseAt(x,y)，它返回一个噪声值和两个导数 dx 和 dy。我想将此函数转换为另一个噪声函数 OtherNoiseAt(x, y) ，该函数也返回噪声和两个导数。

它是基于此处找到的实现的单纯形噪声： https ://github.com/simongeilfus/SimplexNoise/blob/master/include/Simplex.h

例如，对于大于 1 的 x 和 y 值，函数NoiseAt应该混合到函数OtherNoiseAt 中，并在 x 和 y 值大于 2 时完成混合。

我已经尝试过处理噪声和导数，但生成的导数是无效的。

IE。

Lerp(NoiseAt(x, y), OtherNoiseAt(x, y), blending_factor)

（其中当 x 和 y 值都小于 1 时 blending_factor 为 0，而当 x 和 y 值都大于 2 时 blending_factor 为 1）

有没有一种混合方法可以在整个混合过程中保持合理的衍生物？

换句话说，这个函数的主体是什么：

Blend(noise1, dx1, dy1, noise2, dx2, dy2, factor)

标签： functioninterpolationnoisederivativeblending

Answer 1

您的混合因子也需要是可区分的。

为了看到这一点，让我们写出什么h = Lerp(f, g, a)意思：

h = af + (1-a)g

一切都是x和y在这里的函数，包括a它自己。使用链式法则求导（为了符号的简单，我忽略了这些东西是二维的事实）：

h' = a'f + af' - a'g + (1-a)g'

因此，h'为了无处不在，我们也需要a'存在。但是，您并没有Lerp在任何地方使用，而只是在转换发生的时间间隔内使用。就好像您在将其传递a给. 从你的帖子中，我收集到看起来像这样：[0, 1]Lerpa

          0 if x < 1 and y < 1
a(x, y) = ? "in between"
          1 if x > 2 and y > 2

那是相当不明确的，所以让我们看一个一维的情况：

       0     if x < 1
a(x) = x - 1 if     1 ≤ x ≤ 2
       1     if             2 < x

这是一个连续函数，但它在x = 1和x = 2因为斜率突然变化而无法微分。

有几种替代方案在任何地方都有衍生产品。这些通常在 interval 上定义0 ≤ x ≤ 1，因此您必须在评估函数之前进行一些平移和缩放。构建这些时的关键是确保导数在x = 0和处为零x = 1。

例如，对于余弦形状：

       0               if x < 0
a(x) = 1 - cos(x/pi)/2 if     0 ≤ x ≤ 1
       1               if             1 < x

或者使用三次样条（另见“平滑步”）：

       0         if x < 0
a(x) = 3x² - 2x³ if     0 ≤ x ≤ 1
       1         if             1 < x